Kirby-Thompson-Invariante

Beschreibung

Die Kirby-Thompson-Invariante ist eine Invariante von $4$-dimensionalen Glatte Mannigfaltigkeit. Sie gibt an, wie kompliziert ein Trisektionsdiagramm ist.

Sie ist leider sehr schwer zu berechnen, doch als Invariante auch nützlich. Für eine Mannigfaltigkeit $M$ wird sie Sie wird durch $L_M$ angegeben.

Definition

Eigenschaften

Subadditivität

Die Invariante ist Subadditiv, d.h. $L_{M\#N}\le L_M+L_N$

Abschätzung durch Homologiegruppe

Sei $M$ eine geschlossene, zusammemhängende, orientierte, glatte, 4-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es gelte $2\le |H_1(M)|<\infty$. Dann gilt $L_M\ge C\sqrt{\log |H_1(M)|}$ wobei $H_1(M)$ die erste Homologiegruppe ist.

Beispiele

Nicht geometrisch einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine geschlossene, zusammmenhängende orientierte glatte Mannigfaltigkeit. Ist $M$ nicht geometrisch einfach zusammenhängend und enthält keinen Henkel $S^1\times S^3$ als Zusammenhängenden Summanden, dann gilt $L_X\ge 4$.

Nicht-Trivialität der Fundamentalgruppe

Sei $M$ eine geschlossene, zusammmenhängende orientierte glatte Mannigfaltigkeit. Ist die Fundamentalgruppe von $M$ weder trivial noch $\mathbb{Z}$ und $M$ enthält keinen Henkel $S^1\times S^3$ als Zusammenhängenden Summanden, dann gilt $L_X\ge 6$.