Maximale Zelle (Zugstrecke)

Beschreibung

Für eine Maximale rekurrente Pi1-Zugstrecke ist eine Maximale Zelle die Menge aller reellen eigentlichen Gewichtungen $W(\tau )$.

Wir nennen sie eine Maximale Zelle, weil sie eine Zelle des Zellkomplexes aller möglichen Zugstrecken bildet. Ich würde sagen, es gibt eine Zelle, sobald man den projektiven Raum betrachtet.

Erklärung maximale Zelle

Der Name maximale Zelle kommt wahrscheinlich daher, dass wir den projektiven Raum einer maximale Zelle betrachten können. Sprich, alle Zugstrecken, die sich um einen Faktor unterscheiden werden identifiziert. Das resultierende Object $PW(\tau )$ ist dann ein Simplex “maximaler Größe”. Sprich: Dessen Punkte lassen sich beschreiben als $m_1{\gamma }_1+...+m_k{\gamma }_k$ mit $\sum m_i=1$ und ${\gamma }_i$ Irreduzible Schleife.

Die Menge aller dieser Simplizes, geklebt entifiziert werden mit dem Raum der projektiven messbaren Laminierungen.

Eigenschaften

Satz: Dimension der Zelle

Die Dimension der maximalen Zelle für ein die Dimension auf dem Torus $2$.*

Satz: Irreduzible Schleifen als Basis der ${\pi }_1$-Zugstrecken

Der folgende Satz wurde nur für den einfach und doppelt durchbohrten Torus formuliert. Sei $\Sigma$ der Torus mit $p\in \{1,2\}$ Bohrungen. Es gibt endlich viele irreduzible Schleifen $e_1,...,e_k$ auf $\Sigma$, sodass für jede Maximale rekurrente Pi1-Zugstrecke $\gamma$ die Maximale Zelle (Zugstrecke) $W(\gamma )$ der positive lineare Hülle von $2p$ irrationaler Schleifen ist: $W(\gamma )=spa{n}^{+}\{e_{i_1},...,e_{i_{2p}}\}$ wobei $i_j\in \{1,...,k\}$. Desweiteren ist der Schnitt zweier Zellen gegeben durch $W(\tau )\cap W(\text{[}](Irreduzible$