Volle Zeltabbildung

Beschreibung

Die Volle Zeltabbildung (full tent map) ist ein Beispiel eines Dynamisches System, welches durch symbolische Dynamik, d.h. durch einen Untershift endlichen Typs modelliert werden kann.

Definition

Die Volle Zeltabbildung ist eine Abbildung $f:[0,1]\to [0,1]$ definiert durch folgenden Graphen: \frac{1}{2}], P_{1} = [\frac{1}{2}, 1]$.DieIntervallebildeneine\ddot{U}berdeckungvon$I = [0, 1]$undhabeneindisjunktesInneres.Wirbezeichnen$\mathcal{P} = {P_{1}, P_{2}}$alseineZerlegungvon$I$.

Für jeden Punkt $z$ und jedes $k$, liegt $f^k(z)$ in einer der beiden Partitionen. Man kann also jedem Punkt eine Folge in $x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ zuweisen. Wir bezeichnen diese Folge als P-Name von $z$. Der P-Name muss nicht notwendigerweise eindeutig sein. Der Punkt $\frac{1}{2}\in I$ hat zwei P-Namen $(.0100...),(.1100...)$, da $\frac{1}{2}$ auf dem Rand der beiden Teilmengen liegt.

Wir beobachten, dass die Partition die Markow-Bedingung erfüllt. D.h. jedes Bild eines Intervalls ist eine Vereinigung von Intervallen der Zerlegung. In diesem Fall gilt: $f(P_0)=f(P_1)=P_0\cup P_1$. Als Folge hat logischerweise jeder Punkt mindestens einen $\mathcal{P}$-Namen. Des Weiteren ist jeder $\mathcal{P}$-Name mindestens einem Punkt zugehörig. In diesem konkreten Fall ist der Punkt sogar eindeutig bestimmt.

Ich finde, all das klingt mir sehr nach den Rademacher Funktionen. Da kodiert man auch Punkte durch einen unendlich Langen Code.

Wir können also nun eine Abbildung $\pi :\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}\to I$ definieren, die jedem $\mathcal{P}$-Namen einen Punkt zuordnet. $\pi$ hat folgende Eigenschaften:

1. $\pi$ ist stetig
2. $\pi$ ist surjektiv
3. $f\circ \pi =\pi \circ \sigma$
4. $\pi$ ist bijektiv auf mindestens der Menge der transitiven Punkte
5. $\pi$ jedes Bild hat höchstens zwei Urbilder

$\mathcal{P}$ ist ein Beispiel einer Markov-Zerlegung

Eigenschaften

Eigenschaft

lit_kitchensSymbolicDynamicsOnesided2012