狩野隼輔 - Combinatorics of train tracks and clsuter algebras

Abstract

曲面の測度付き葉層構造やラミネーションの組合せモデルとして、トレイントラックと呼ばれるグラフがある。 トレイントラックは曲面に滑らかに埋め込まれたグラフで、頂点にも接線が定まるようなもので、ある種の双曲性を持つものとして定義される。 極大なトレイントラック全体は測度付き葉層構造の空間の区分線形アトラスを与えることが知られている。 一方で、測度付き葉層構造の空間はあるクラスター多様体のトロピカル化として得られる区分線形アトラスも持つ。 本講演ではこれらの区分線形構造の比較をし、トレイントラックの基本変形をトロピカルクラスター変換によって記述する方法を紹介する。

Talk

Intro

Wir definieren, was eine Messbare Blätterung ist. Darauf entwickeln wir eine Zugstrecke. Im wesentlichen ist es ein Objekt, mit dem sich Blätterungen kombinatorisch studieren lassen. Wir definieren einen Unterraum $V(\tau )\subseteq \mathcal{M}\mathcal{F}(\Sigma )$ der messbaren Blätterungen, die von $\tau$ approximiert werden können (= getragen werden können?)

Nach einem Satz von Thurston bildet $\{intV(\tau )|\tau \text{ "maximal"}\}$ einen $PL$-Atlas für $\mathcal{M}\mathcal{F}(\Sigma )-\{\varnothing \}$. (PL = Stückweise linear)

Wir definieren $\widetilde{\mathcal{M}\mathcal{F}}(\Sigma )\supseteq \mathcal{M}\mathcal{F}(\Sigma )$ als der Raum von dekorierten messbaren Blätterungen. (Was heißt dekoriert?)

Es gibt einen Homöomorphismus $\widetilde{\mathcal{M}\mathcal{F}}(\Sigma )\cong {\mathcal{A}}_{\Sigma }{\mathbb{R}}^{trop}$ (tropical cluster $\mathcal{A}$-variety) (Was ist ein Cluster)

Measured foliations & train tracks

Wir beginnen mit einer Markierte Fläche und definieren eine Messbare Blätterung präziser als in der Einleitung. Dazu beschreiben wir sogar exakt, was ein transverse measure ist. Der Raum $\mathcal{M}\mathcal{F}(\Sigma )$ ist definiert als der Raum aller Blätterungen, modulo Homotopie und einer Whitehead-Aktion

Train Tracks

Sei $\Sigma$ eine Fläche mit glatter Struktur. Wir definieren eine Zugstrecke als einen eingebetteten Graphen mit Tangenten an jeder Weiche- Bei Flächen mit Rand sollen die Zugstrecken lausta. Wir fordern außerdem, dass einige Kompemente nicht auftauchen. (Zugstrecke it essentiell.) Dann definiern wir die Gewichtsfunktion, als eine Funktion, die Zweige auf Gewichte abbildet.

Gott, ist das gerade langweilig. Es fühlt sich an, als würde ich Penners Buch lesen

Wir definieren eine Rekurrente Zugstrecke als eine Zugstrecke, die ein auf jedem Zweig positives Gewicht erlaubt. Eine Zugstrecke heißt vollständig, wenn sie rekurrent und maximal. Für die Definition von maximalen Zugstrecken, siehe Maximale rekurrente Pi1-Zugstrecke.

Für eine Ideale Triangulation sagen wir, die Zugstrecke ist passend, wenn die Zugstrecke in jedem Dreieckmaximal zwei Kanten verbindet (so ähnlich wie bei der Pi1-Zugstrecke!)

Diese Zugstrecken, die in Randkomponenten aufhören, sind vielleicht gar nicht so dumm. Ich war ja schon seit langem der Meinung, dass diese einfacher zu heben sind.

Für eine ideale Triangulation $△$, definieren wir $T{T}_{△}^{max}:=\{\tau :\text{vollsta¨ndig und passend zu }△\}$

Es gibt eine natürliche Einbettung vom Gewichtraum (Zugstrecke) in den Raum der messbaren Blätterungen.

Cluster Strukturen

WIr betrachten dekorierte messbare Blätterungen (Siehe Papadopopouos-Penner). Diese sind eine Verallgemeinerung von messbaren Blätterungen. Diese unterscheiden sich unter anderem dadurch, dass die transversale Messfunktion auch negativ sein kann.

Wir definieren eine etwas perverse Funktion $a_{\alpha }$, die als Parameter eine ideale Kurve $\alpha$ hat, dekorierte Blätterungen entgegennimmt und das Gewicht entlang der Kurve ausgibt. Wir definieren $a^{△}:=(a_{\alpha }{)}_{\alpha \in △}:\widetilde{\mathcal{M}\mathcal{F}}(\Sigma )\to {\mathbb{R}}^{△}$, die für ein Dreieck, eine Blätterung entlang der Kanten misst.

Ein Satz des Autors besagt, dass diese Funktion bijektiv ist und eine globale Karte gibt.

Dann wird etwas zu trpoischen cluster algebren erklärt. (Was ist eine Cluster-Algebra?)

Gonchavor-Shen Potential

Wir definieren eine “trpocalized GS potential function”. Der Hauptsatz des Autors war, einen PL-atlas für dekorierte Blätterungen.

Wir schreiben die elementaren Bewegungen für Zugstrecken auf. (d.h. Spaltung, Faltung (Zugstrecke) und Shift (Zugstrecke)). Für eine Triangulation definieren wir den Flip-move (bei mir als Whitehead-Aktion gespeichert).

Unterscheiden sich zwei Triangulationen $△,{△}^{\prime }$ um einen flip, dann sind auch $\tau \in T{T}_{△}^{max},{\tau }^{\prime }\in T{T}_{{△}^{\prime }}^{max}$ äquivalent.