Zeta-Funktion (Dynamik)

Beschreibung

Die Zeta-Funktion ist eine Funktion, mit der man kompakt die Anzahl periodischer Orbits eines Dynamisches System verschlüsseln kann. Wir nennen es eine Zeta-Funktion weil es ähnlich der Riemann-Zeta Funktion eine innige Beziehung zu Primzahlen hat.

Definition als Summe

Sei $X_A$ oder ${\Sigma }_A$ ein Untershift endlichen Typs. Die Zeta-Funktion ist definiert durch ${\zeta }_A(t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }\frac{N(A,k)}{k}{t}^k\right)$ wobei $N(A,k)$ die Anzahl der Periodischen Punkte angibt.

Beobachte, dass wegen der Bijektiviät von $\exp$ alle $N(A,k)$ aus ${\zeta }_A(t)$ erhalten werden können. (Wenn auch sehr umständlich, wie ich finde)

Charakterisierung durch Eigenwerte

Ist $A$ eine Irreduzible Matrix, so ist die Zeta-Funktion gleich ${\zeta }_A(t)=\det (I-tA{)}^{-1}=({\prod }_{j=1}^n(1-t{\mu }_j){)}^{-1}={\left(t^d{c}_A^{\ast }\left(\frac{1}{t}\right)\right)}^{-1}$ Wobei ${\mu }_j$ die Eigenwerte von $A$ sind und $d$ der Grad von $c_A^{\ast }(x)$ ist.

Es gibt noch eine weitere Form der Zeta-Funktion, als ein Produkt. Kitchens zufolge ist die Gleichheit zwischen Summen und Produktform der Grund warum man es eine Zeta-Funktion nennt.

Charakterisierung als Produkt

Sei $\mathcal{O}(A)$ die Menge aller periodischer Orbits. Sei für $o\in \mathcal{O}$ $l(o)$ die Länge eines Orbits. Dann gilt: ${\zeta }_A(t)={\left({\prod }_{k=1}^{\infty }(1-t^{l(o)})\right)}^{-1}$

Beweis: Der Beweis war eine Aufgabe. Ich habe mehrere Tage an der gesessen, deshalb muss ich sie unbedingt aufschreiben. Sei $\bar{N}(A,k)$ die Menge der Periodischen Punkte mit Periode genau $k$ und nicht eines Teilers davon. Wenn wir uns nämlich $N(A,k)$ genauer ansehen, fällt uns auf, dass es zum einen $\bar{N}(A,k)$ mitzählt aber auch alle $\bar{N}(A,d)$ mit $d$ die $k$. Es ergibt daher Sinn, schon mal präventiv Vielfache von $d$ in der Summe zu behandeln, weil man dann beim Betrachten von $N(A,k)$ bereits alle Teiler mitgezählt hat. Wir spalten also die Summe aus der ersten Definition auf und wenden die Taylorentwicklung des Logarithmus an: $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{N(A,k)}{k}{t}^k=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\bar{N}(A,k)}{k}\frac{{(t^k)}^n}{n}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\bar{N}(A,k)}{k}\log (1-t^k)$ Was nach weiteren Rechnungen die obere Formel ergibt.

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