Beschreibung
Das Klammer-Polynom (auch Kauffman Klammer) für Knoten ist das Vorgängerpolynom zum Jones-Polynom. Es ist keine Invariante, da es durch Reidemeister-Bewegungen des Typ I beeinflusst wird aber aber es kann einfach zu einer aufgewertet werden.
Berechnung
Bezeichne mit den trivialen Knoten, nutze die Conway Notation, um Gewirre zu bezeichnen. (Versuche dabei nicht und zu verwechseln) Das Klammer-Polynom berechnet sich aus einigen Regeln:
- Polynom des Trivialen Knoten: \langle 1 \rangle = A\langle 0 \rangle + A^{-1}\langle \infty \rangle\langle -1 \rangle = A\langle \infty \rangle + A^{-1}\langle 0 \rangle$ Gleiche Regel aus unterschiedlichen Perspektiven
- Hinzufügen eines trivialen Knotens:
Eigenschaften
Nicht invariant bei Typ I Reidemeister Bewegung.
Das Polynom ist invariant unter Anwendung der Typ II und III Bewegungen.
Korrigierbarkeit durch Verwringung
Die Verwringung ist ebenfalls ein Objekt, welches nur durch Typ I Reidemeister Bewegungen verändert wird. Wir können somit der Verwringung nutzen, um das Polynom zu korrigieren. Das Resultat ist das Jones-Polynom.