Kommutatorgruppe

Definition

Bezeichnet $S=\{[g,h]:g,h\in G\}$ die Menge aller Kommutatoren in $G$, so wird die Untergruppe $G^{\prime }=⟨S⟩$ die Kommutatorgruppe $G$ genannt.

Normalteiler

Sei $G$ eine Gruppe

1. Die Kommutatorgruppe $G^{\prime }$ ist ein Normalteiler von $G$
2. Für einen beliebeigen Normalteiler $N$ von $G$ gilt $N\subset G^{\prime }$ genau dann, wenn die Quotientengruppe $G/N$ abelsch ist.

Also ist $G/G^{\prime }$ die größte abelsche Faktorgruppe von $G$.