Kombinatorische Isomorphie (Spaltfolge)

Beschreibung

Wenn wir eine Messbare Zugstrecke bzw. eine Maximale Spaltfolge als Analog eines Kettenbruch sehen und die Maximale Spaltfolge die Koeffizienten offenbart, dann sagen wir, dass zwei Spaltsequenzen die kombinatorisch isomorph sind, wenn sie gleich enden. (Plus ein paar andere Unterschiede) Diese Äquivalenzrelation gibt uns eine ziemlich starke Konjugationsinvariante.

Die älteste, mir bekannte Definition ist von Hodgson.

Definition (Hodgon & Kawamuro) $S=S_{n,g}$ eine Fläche und $\mathcal{S}$ und ${\mathcal{S}}^{\prime }$ Periodische Spaltfolge der Messbaren Zugstrecken $(\tau ,\mu ),({\tau }^{\prime },{\mu }^{\prime })$ mit Agolzykellänge $m,n$ darauf. Wir sagen, die Folgen sind kombinatorisch isomorph, wenn $m=n$ und sich die beiden Folgen unterscheiden um

• einen Diffeomorphismus $h:S\to S$
• einen Skalierungsfaktor $c\in {\mathbb{R}}_{>0}$
• zwei Shifts $p,q\in {\mathbb{N}}_0$

Konkret, gelten die beiden Eigenschaften

1. ${\varphi }^{\prime }=h\varphi h^{-1}$
2. $h({\tau }_{p+i},{\mu }_{p+i})=({\tau }_{q+i},c{\mu }_{q+i}^{\prime })$ für alle $i\in {\mathbb{N}}_0$.

Ich persönlich finde die Definition ziemlich dumm. Speziell habe ich drei Verbesserungsvorschläge:

• Kombinatorische Isomorphie sollte auch für nicht-periodische Spaltfolgen gelten. Dann könnte man sagen, dass zwei Zugstrecken äquivalent genau dann sind, wenn deren Maximalen Spaltfolgen kombinatorisch äquivalent sind.
• Die Bedingung $m=n$ sollte rausgeworfen werden. Zwei Folgen, die die unteren Eigenschaften erfüllen haben bereits die gleiche Periode. Die $n=m$ läuft dann nur noch darauf hinaus, welches Vielfache man von der Periode wählt
• Die Bedingung ${\varphi }^{\prime }=h\varphi h^{-1}$ sollte weg. Ich denke, die folgt automatisch aus der zweiten.

Eigenschaften

Satz (Konjugationserkennung):

Seien $\mathcal{S}$ und

Beispiele

Beispiel: