Krümmung eines Zusammenhangs

Definition

Sei $\nabla$ eine Symmetrische Verbindung auf $TM$. Wir definieren die Krümmung der Verbindung $\nabla$ durch: $R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z$ Gelegentlich wird das auch als der Riemannscher Krümmungstensor bezeichnet.

Sie misst die Differenz zwischen dem Vektor $Z$ und dem Vektor, den man erhält wenn man einen Paralleltransport entlang des durch $X,Y$ aufgespannten Parallelogramms durchführt.

Eigenschaften

Lokalität

Die Krümmung $(R(X,Y)Z{)}_p$ hängt nur von den lokalen Werten $X_p,Y_p,Z_p$ ab und ist damit nur von den Tangentenvektoren abhängig.

Symmetrien

• $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$
• $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)y=0$ (vgl. Lie Klammer von Vektorfeldern)
• Für $f:U\to M$ glatt, $U\subseteq {\mathbb{R}}^2,V(t)$ ein Vektorfeld (Vektorraum) entlang einer Kurve: $\frac{\nabla }{dt}\frac{\nabla }{ds}V-\frac{\nabla }{ds}\frac{\nabla }{dt}V=R(\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s})V$

Beispiel

Krümmung einer Kurve

Sei $c:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ eine Glatte Kurve (Glatten Mannigfaltigkeit), parametrisiert nach Länge.

Die Krümmung ist $\kappa (t)=\Vert c^{\prime \prime }(t)\Vert$

Krümmung einer Fläche

Sei Homöomorphismus $f:U\to {\mathbb{R}}^3,U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ offen. $d_{p}f$ hat vollen Rang. (Also eine inverse Karte)