Freie Kurvenhomotopie

Beschreibung

Bei der Kurvenhomotopie setzten wir voraus, dass zwei Homotope Kurven den gleichen Start- und Endpunkt besitzen sollen. Das ist gelegentlich etwas einschränkend. Daher definieren wir die Freie Homotopie. Diese erlaubt, dass Start- und Endpunkte stetig deformiert werden.

Definition

Schleifenhomotopie

Die Freie Kurvenhomotopie wird häufig für Schleifen verwendet. In dem Fall nennen wir die Homotopie einfach Schleifenhomotopie

Sei U wegzusammenhängend Zwei Schleifen ${\gamma }_0:[a,b]\to U$ und ${\gamma }_1:[a,b]\to U$ heißen schleifenhomotop, wenn es eine Schleifenhomotopie von ${\gamma }_0$ zu ${\gamma }_1$ gibt.

Eine Schleifenhomotopie $H$ von ${\gamma }_0$ zu ${\gamma }_1$ ist eine stetige Abbildung $H:[a,b]\times [0,1]\to U$ mit den Eigenschaften:

1. Zum Zeitpunkt 0 ist H die Schleife ${\gamma }_0$ $H(t,1)={\gamma }_0(t)$ für alle $t\in [a,b]$
2. Zum Zeitpunkt 1 ist H die Schleife ${\gamma }_1$ $H(t,0)={\gamma }_0(t)$ für alle $t\in [a,b]$
3. Während der Deformation bleibt $H$ eine Schleife $H(a,s)=H(b,s)$ für alle $s\in ]0,1[$