Krümmung einer Kurve

Beschreibung

Die Krümmung beschreibt, wie gekrümmt ein Weg an einem bestimmten Punkt ist.

Definition

Die legt man an eine Kurve einen Kreis (Didaktik) so an, dass er die Kurve tangiert und zusätzlich die gleiche Krümmung hat, so ist die Krümmung an diesem Punkt der Kehrwert des Kreisradius.

Es fällt auf: Je kleiner der angelegte Wert, desto stärker die Krümmung.

Eigenschaften

Krümmung unter analytischen Funktionen

Die Krümmung einer Kurve wird unter einer Analytische Funktion verändert. Wie das an einem Punkt $p$ aussieht, lässt sich damit errechnen: $\tilde{\kappa }=\frac{1}{|f^{\prime }(p)|}\left(Im\left(\frac{f^{\prime \prime }(p)\hat{\xi }}{f^{\prime }(p)}\right)+\kappa \right)$ wobei $\hat{\xi }$ der die komplexe Tangente an $p$ mit Betrag 1 ist.

Krümmung der reellen Achse unter analytischen Funktionen

Das ist ein Spezialfall des vorherigen Ergebnisses. Setzt man alle nötigen Parameter ein, erhält man die Formel: $\tilde{\kappa }=\frac{Im\left(\frac{f^{\prime \prime }(p)}{f^{\prime }(p)}\right)}{|f^{\prime }(p)|}$ oder $\tilde{\kappa }=\frac{Im\left(\overline{f^{\prime }(p)}{f}^{\prime \prime }(p)\right)}{|f^{\prime }(p){|}^3}=\frac{Im\left(\overline{v}\dot{v}\right)}{|v{|}^3}$ wobei $v$ die Geschwindigkeit eines Teilches beschreibt, welches entlang der Kurve wandert.

Krümmung zweidimensionaler Kurven

Der obere Fall gleicht sehr einer Parametrisierten Kurve. Desweiteren fällt uns ins Auge, dass $Im\left(\overline{v}\dot{v}\right)$ das komplexe Kreuzprodukt von $v$ mit $\dot{v}$ ist.

Damit erhält man eine neue Formel: $\tilde{\kappa }=\frac{|\overline{v}\times \dot{v}|}{|v{|}^3}$

Krümmung mehrdimensionaler Kurven

In einem Raum mit mindestens 3 dimensionen kann man ein Kurvenstück durch die Bewegungs und Krümmungsrichtung durch eine Ebene darstellen. Anhand dieser Ebene kann man die obere Formel verwenden, um die Krümmung zu erhalten.