Ordnungserhaltender Automorphismus

Beschreibung

Ein Ordnungserhaltender Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine Ordnungsrelation erhält.

Definition

Sei $\varphi$ ein Gruppenautomorphismus auf einer Bi-Geordnete Gruppe $(G,<)$. Wir bezeichnen ihn als Ordnungserhaltend, wenn $g<h$ impliziert $\varphi (g)<\varphi (h)$.

Charakterisierung durch Invarianz des Positiven Kegels

Ein Gruppenautomorphismus $\varphi$ erhält eine links bzw. bi-geordnete Gruppe genau dann, wenn es den positiven Kegel erhält $\varphi (P)=P$.

Charakterisierung durch Eigenwerte

Sei $\varphi$ ein Automorphismus einer nicht-trivialen, endlich-erzeugten, Bi-Geordneten Gruppe $G$.

Ist $\varphi$ bi-ordnungserhaltend, dann hat $\varphi$ einen positiven Eigenwert. Sind alle Eigenwerte positiv, dann ist $\varphi$ bi-ordnungserhaltend.

Freies Produkt ist Ordnungserhaltend

Sind $\varphi :G\to G$ und $\psi :H\to H$ ordnungserhaltend, so gibt es eine Ordnung auf $G\ast H$ sodass $\varphi \ast \psi :G\ast H\to G\ast H$ ordnungserhaltend ist.

Beispiele

Automorphismus $M:{\mathbb{Q}}^n\to {\mathbb{Q}}^n$

Sei $M:{\mathbb{Q}}^n\to {\mathbb{Q}}^n$ ein Automorphismus, dargestellt durch eine Matrix $M$. Wenn $M$ eine Bi-Ordnung erhält, hat $M$ einen positiven Eigenwert.

Beweis: Der Beweis ist so cool, ich muss den einfach hinzufügen. Die Matrix $H$ wirkt auch auf ${\mathbb{R}}^n$. Sei $H\subseteq {\mathbb{R}}^n$ die Menge aller Punkte, für die jede Umgebung sowohl positive als auch negative Punkte (im Sinne der Ordnung) enthält. Man kann zeigen, dass $H$ ein $n-1$-Dimensionaler Untervektorraum ist. Es zerlegt ${\mathbb{R}}^n$ in positiven Teil $U_{+}$ und einen negativen Teil $U_{-}$. Betrachte nun die $n-1$-Dimensionale Einheitssphäre. $H$ schneidet diese und zerlegt die Sphäre damit in eine positive und negative Hemisphäre. Der Abschluss der positiven Hemisphäre ist homöomorph zu einer Kreisscheibe. Wir bezeichnen sie mit $D_{+}$. Betrachte die Abbildung $\hat{M}:S^{n-1}\to S^{n-1},\hat{M}(x)=M(x)/|M(x)|$. Die Abbildung ist ein Automorphismus der Sphäre. Da $M$ Ordnungserhaltend ist, ist es außerdem ein Homöomorphismus auf $D_{+}$. Nach Brouwers Satz besitzt $\hat{M}$ einen Fixpunkt auf $D_{+}$. Dieser korrespondiert mit einem Eigenvektor.

lit_kinBraidsOrderingsMinimal2018 lit_clayOrderedGroupsEigenvalues2010 redGroupsEigenvalues2010]]