Doppelverhältnis

Beschreibung

Das Doppelverhältnis ist im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse.

Nach Wikipedia:¹ Wird eine Strecke $[AB]$ durch zwei Punkte $S$ und $T$ geteilt, bilden sich die Verhältnisse $\frac{|AS|}{|SB|}$ und $\frac{|AT|}{|TB|}$.

Der Quotient dieser Verhältnisse ist das Doppelverhältnis: $[A,S,T,B]=\frac{\frac{|AS|}{|SB|}}{\frac{|AT|}{|TB|}}=\frac{|AS||TB|}{|SB||AT|}=\frac{(S-A)(B-T)}{(B-S)(T-A)}$

Definition

Oben ist eine Definition. Es gibt aber überall schwache Abweichungen in der Notation.

Eigenschaften

Perspektiven

Nach Wikipedia, bleibt dieses Verhältnis unter Fluchtpunktperspektive invariant.

Möbiustransformationen

Die Formel des Doppelverhältnisses $[z,q,r,s]=\frac{(z-q)(r-s)}{(z-s)(r-q)}$ induziert eine Möbiustransformation, die $q$ auf $0$, $s$ auf $\infty$ und $s$ auf $1$ abbildet.

Da eine Möbiustransformation durch 3 Punkte eindeutig ist, ist die obere Funktion die einzige Möbiustransformation.

Footnotes

1. https://de.wikipedia.org/wiki/Doppelverh%C3%A4ltnis ↩