Glatter Atlas

Beschreibung

Ein glatter Atlas ist eine Funktion, die verwendet wird, um Mannigfaltigkeiten zu definieren. Man kann es sich vorstellen als ein Atlas bestehend aus vielen Karten, die eine Oberfläche kartieren.

Indem man weiß, wo jede Karte hingehört, kann man durch das zusammenkleben von Karten die urspüngliche Oberfläche rekonstruieren.

Definition

Sei $M$ ein Topologischer Raum. in Glatter Atlas für $M$ ist eine Menge $\mathcal{A}=\text{ges}(U_i,V_i,{\phi }_i),i\in I$ wobei

1. Offene Bilder/Urbilder: Für alle $i$ ist die Menge $U_i$ offen in $M$ und $V_i$ offen in einem ${\mathbb{R}}^n$
2. Homöomorphismen: Für alle $i$ ist $\phi :U_i\to V_i$ ein Homöomorphismus
3. Vereinbarkeit von Karten: Wenn $U_i\cap V_i\ne \varnothing$ dann ist die Komposition ${\phi }_i\circ {\phi }_j^{-1}:{\phi }_j(U_i\cap U_j)\to {\phi }_i(U_i\cap U_j)$ eine Glatte Abbildung
4. Jeder Punkt $p\in M$ ist in einem $U_i$ enthalten

Die ${\varphi }_i$ werden Karten genannt. Wir sagen ${\phi }_i$ ist eine Karte um $p$, wenn $p\in U_i$

Das Wort glatt, kann durch andere Adjektive ersetzt werden, um neue Strukturen zu bekommen.

Q: Glatter Atlas von $M$ A: Eine Menge von Karten ${\phi }_i:U_i\to V_i$ mit

• $U\subseteq M,V\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen
• ${\varphi }_i:U_i\to V_i$ Homöomorphismus
• ${\phi }_i\circ {\phi }_j^{-1}:{\phi }_j(U_i\cup U_j)\to {\phi }_i(U_i\cup U_j)$ Glatter Diffeomorphismus
• $U_i$ sind eine Überdeckung von $M$