Erzeugter Teilring

Beschreibung

Oft stellt man sich zum Beispiel die Frage: Was ist die größte Erweiterung von $\mathbb{Z}$, die $\sqrt{2}$ enthält.

Formal: $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Der Erweiterungsring gibt genau darauf die richtige Antwort.

Definition

Sei $\tilde{R}|R$ eine Ringerweiterung und $A\subset \tilde{R}$ eine beliebige Teilmenge. dann gibt es einen eindeutig bestimmten Teilring $R[A]$ von $\tilde{R}$ mit folgenden Eigneschaften:

1. Es gilt $R[A]\supset R\cup A$
2. Ist $R^{\prime }$ ein weiterer Teilring von $\tilde{R}$ it $R^{\prime }\supset R\cup A$, dann folgt $R^{\prime }\supset R[A]$

Kurz ist $R[A]$ der kleinste Erweiterungsring von $R$, der auch die Elemente von $A$ enthält. Der resultierende Erweiterungsring nimmt seine Elemente aus dem “Kontext” $\tilde{R}$

Notation

Ist $A$ einelementig, lässt man die Mengenklammern weg.

Eigenschaft

Ausprägung

Sei $\tilde{R}|R$ ein Erweiterungsring und $c\in \tilde{R}$. Dann gilt $R[c]=\left\{{\sum }_{i=0}^n{a}_i{c}^i:n\in {\mathbb{N}}_0,a_0,...,a_n\in R\right\}$¹

Beispiel

Quadratische Zahlenringe

Siehe Quadratische Zahlringe

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 3.6 ↩