Dualisierte Vektorbündelabbildung

Beschreibung

Haben wir eine beliebige Vektorbündelabbildung $\Phi :E\to F$, so können wir die Abbildung dualisieren.

Definition

Sei $\Phi :E\to F$ eine Vektorraumabbildung zwischen Vektorbündeln ${\pi }_E:E\to M,{\pi }_F:F\to N$ mit einem glatten Diffeomorphismus $\varphi :M\to N$. Das induziert kontravariant eine Abbildung $(\Phi {)}^{\ast }:F^{\ast }\to E^{\ast }$ auf den Dualer Vektorraumbündel.

Konstruktion: Wir können auf jeden Fall die Abbildungen zwischen den Fasern dualisieren. Für einen Punkt $p\in M$ ist die Dualisierte Lineare Abbildung von ${\Phi }_p:E_p\to F_{\varphi (p)}$ die Abbildung $({\Phi }_p{)}^{\ast }:F_{\varphi (p)}^{\ast }\to E_p^{\ast }$. Wir setzen diese zu der gesuchten Abbildung auf ganz $M$ zusammen.

Da dies (aufgrund der Kontravarianz) eine Abbildung von $F\to E$ ist, muss für die Wohldefiniertheit $\varphi$ bijektiv sein. Wollen wir zudem, dass die resultierende Vektorbündelabbildung glatt ist, so müssen wir zusätzlich $\varphi$ Diffeomorphismus voraussetzen. Wir erhalten dann: ${\Phi }^{\ast }(\rho )=({\Phi }_{{\varphi }^{-1}(p)}{)}^{\ast }(\rho )$