Riemannsche Metrik

Beschreibung

Es ist möglich auf Differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine natürliche bilineare Form zu finden.

Diese Lineare Form wird Riemannsche Metrik genannt und kann verwendet werden, um Geometrie auf Mannigfaltigkeiten durchzuführen.

Definition

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Es gibt eine bilineare Form $g\in \Gamma (T^{\ast }{M}^{\otimes 2})$, sodass für jedes $p\in M$ de Abbildung $g_p$ ein Skalarprodukt ist (symmetrisch und positiv definit in jedem Punkt).

Wir erhalten das Skalarprodukt, indem wir das euklidische Skalar in Koordinaten auf die Mannigflatigkeit ziehen und dann mit einer Zerlegung der Eins glatt zwischen den Koordinaten wechselt.

Eigenschaften

Konformer Metrikwechsel

Sei $g$ eine Riemannsche Metrik. $\rho :M\to \mathbb{R}$ eine positive glatte Funktion. Dann ist auch $\rho \cdot g$ eine Riemannsche Metrik.

Den Wechsel bezeichnen wir als Konformen Wechsel, da Winkelmessungen erhalten bleiben.

Beispiele

Untermannigfaltigkeit von ${\mathbb{R}}^n$

Für eine Untermannigfaltigkeit von R ist das Standardskalarprodukt eine Riemannsche Metrik.

Hyperbolische Ebene

Sei ${\mathbb{H}}^2$ die Hyperbolische Halbebene. Dann ist $g_{(x,y)}=\frac{1}{y}\text{wink}\cdot ,\cdot$

Produktmannigfaltigkeit

Seien $(M,g)$ und $(N,h)$ Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dann hat $M\times N$ eine natürliche Riemannsche Metrik, die Produktmetrik.

Betrachte die Abbildungen $p_M:M\times N\to M,p_N:M\times N\to N$ und setze $k(v,w)=g(d{p}_M(v),d{p}_M(w))+h(d{p}_N(v),d{p}_N(w))$

Obacht: Die obere Metrik ist nicht die einzige Metrik, die man auf das Produkt setzen kann. Beim Torus kann man beispielsweise die Produktmetrik oder die ${\mathbb{R}}^3$-Metrik anwenden.

Quotientenmetrik

Siehe Quotientenmetrik

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