Borel-Cantelli-Lemma

Beschreibung

Das Borel-Cantelli-Lemma setzt Folgen von paarweise unabhängigen Ereignissen mit der Wahrscheinlichkeit des Grenzwertes in Zusammenhang.

Er besagt, dass die Wahrscheinlichkeit unendlich oft eine $6$ zu würfeln $0$ ist. (Glaube ich zumindest!)

Definition

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine unendliche Folge von Ereignissen. Dann gilt:

1. $\sum P(A_n)<\infty ⟹P(\mathrm{limsup}{A}_n)=0$
2. Ist $\sum P(A_n)=\infty$ und sind die Ereignisse paarweise unabhängig $⟹\mathrm{limsup}P(A_n)=1$