Group homomorphism

Beschreibung

Ein Gruppenhomomorphismus ist ein Homomorphismus, der die Struktur einer Group erhält.

Er ahmt die Struktur seiner Definitionsmenge nach.

Intuition

Homomorphismen tauchen in genau zwei Situationen auf:

1. Bei Untergruppen
2. Bei Faktorgruppen

Untergruppe

Siehe Einbettung (Gruppe)

Faktorgruppe

Siehe Quotientenkarte

Definition

Seien $(G,\cdot ),(H,\ast )$ Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi$ erfüllt die Bedingung $\varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\ast \varphi (g_2)$

Beobachte, dass die Bedingung $\varphi (e_G)=e_H$ und $\varphi (g^{-1})=\varphi (g{)}^{-1}$ nicht erfüllt werden muss. Diese Bedingungen sind natürlich für die Gruppenstruktur notwendig, folgen aber aus der Tatsache, dass $G$ und $H$ Gruppen sind.

Charakterisierungen

Cayley-Diagramm

Wenn ein Pfeil $b$ im Cayley-Graph der Urbildmenge von $a$ nach $c$ geht, dann muss der Pfeil $\varphi (b)$ in der Gruppe der Bildmenge von $\varphi (a)$ nach $\varphi (c)$ gehen.

Eigenschaften

Injektivität

Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn $ker(\varphi )=\{e_G\}$ gilt.

Siehe Kern.

Untergruppen

Sei $\varphi :G\to H$ ein Group homomorphism, außerdem $U$ eine Subgroup von $G$ und $V$ eine Untergruppe von $H$. Dann gilt: - Die Bildmenge $\varphi (U)$ ist eine Untergruppe von $H$ - Die Urbildmenge ${\varphi }^{-1}(V)$ ist eine Untergruppe von $G$[^2]

Homomorphismen und Erzeugendensysteme

Seien $G,H$ Gruppen und $S\subseteq G$ ein Erzeugendensystem von $G$. Sind $\varphi ,{\varphi }^{\prime }:G\to H$ Gruppenhomomorphismen mit $\varphi (s)={\varphi }^{\prime }(s)$ für alle $s\in S$, dann folgt $\varphi ={\varphi }^{\prime }$ auf der ganz $G$

Ein Gruppenhomomorphismus ist also durch Angabe des Erzeugendensystems eindeutig definiert!

Ordnung unter Homomorphismen

Sei $\varphi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus. Ist $g\in G$ ein Element von endlicher Ordnung (Gruppe) $n$, dann ist auch $ord(\varphi (g))$ endlich und ein Teiler von $n$.

Induzierter Homomorphismus

Siehe Induzierter Homomorphismus (Faktorgruppe)

Homomorphiesatz für Gruppen

Siehe Homomorphiesatz für Gruppen

Übungen

Klausur 2016 Aufgabe 1

b)

• Neutrales Element $\varphi (e)=\psi (e)=e⟹e\in U$
• Abgeschlossen Für $\varphi (a)=\psi (a)$ und $\varphi (b)=\psi (b)$ Dann auch $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=\psi (a)+\psi (b)\ast \psi (a+b)$ also $a+b\in U$
• Inverses Für $a\in U$ $\varphi (-a)=-\varphi (a)=-\psi (a)=\psi (-a)$
• Untermenge Offensichtlich

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