The Kontsevich invariant takes values in the spaces of Jacobi diagrams. We have an action of the automorphism group of the free group on the space of Jacobi diagrams of degree on -component oriented arcs. The IA-automorphism group of is a normal subgroup of . The rational homology of has been studied but the only case that is completely determined is the first homology. To the best of our knowledge, there is no literature which studies the homology of with non-trivial coefficients. In this talk, we study the first homology of with coefficients in .
The IA-Automorphism group
Wir definieren die IA-Automorphismengruppe. Wir erhalten die exakte Sequenz Die innere Automorphismengruppe von ist eine Untergruppe von
Generatoren von : Die typischen Generatoren werden als Magnus’ Menge bezeichnet.
Torelli Gruppen von Flächen: Die -Automorphismen sind ein Analog der Torelli-Gruppe von Flächen. (Wobei die Abbildungsklassengruppe mit der Automorphismengruppe von korrespondiert)
Wir beschreiben als nächstes die Homologien von .
Wir definieren algebraische Darstellungen von (Darstellungen von Matrixgruppen sind irgendwie lächerlich aber gut :D)
Wir definieren die Albanische Homologie als das Bild einer Funktion zwischen zwei Homologien. Für rationale Koeffizienten konnte man hier einige Ergebnisse finden aber für andere Koeffizienten gibt es keine Literatur.
The spaces of Jacobi Diagrams
Wir betrachten den Raum der Jacobi-Diagram. Dabei handelt es sich um einen 1-3-valenten Graph mit einer zyklischen Ordnung um jeden Knoten. Wir können einen Grad definieren.
Der Raum ist der Raum der Jacobi-DIagramme geteilt durch einige Äquivalenzrelationen.
Als nächstes definieren wir die Wrkung auf . Wir betrachten einige Eigenschaften dieser Wirkung:
- Es gibt eine Filtration, die erhalten wird