Gleichmäßige Konvergenz

Beschreibung

Eine Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent, wenn die Geschwindigkeit mit der die Funktion punktweise gegen einen Grenzwert konvergiert nicht vom Funktionswert abhängt.

Das ist gegeben, wenn man die Funktion durch eine Funktionenfolge abschätzen kann, die überall gleich ist.

Definition

Die Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert genau dann gleichmäßg gegen $f$, wenn $\underset{n\to \infty }{\lim }\sup x\in D_f|f_n(x)-f(x)|=0$ Das ist genau dann gegeben, wenn $\forall \epsilon >0:\exists N\in \mathbb{N}:\forall n\ge N:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

Eigenschaften

Beispiel

Punktweise aber keine gleichmäßge Konvergenz

Die Funktionenfolge $x\mapsto x^{2n}$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion, die überall $0$ ist außer bei $\pm 1$, wo sie $1$ ist. Das Supremum oben konvergiert nicht gleichmäßig gegen $0$. Da es in einer Umgebung um $x_0=1$ immer ein $x$ gibt, bei dem $f_n(x)\approx 1$.