Zentrum (Gruppe)

Definition

Sei $G$ eine Gruppe dann ist das Zentrum definiert als: $Z(G)=\{g\in G:gh=hg,\forall h\in G\}$ oder äquivalent als Fixpunkt unter beliebiger Konjugation (Gruppe): $Z(G)=\{g\in G:h^{-1}gh=g,\forall h\in G\}$

Charakterisierungen

Fixpunkte der Konjugation

Siehe Zentralisator

Eigenschaften

Zusammenhang mit Normalteilern

• Das Zentrum ist ein Normalteiler
• Jede Untergruppe des Zentrum ist ein Normalteiler

Kommutativität

Das Zentrum ist offensichtlich eine Abelsche Gruppe. Ist $G$ endlich erzeugt, dann ist es ein Produkt aus Zyklischen Gruppen

Verbindung zum direkten Produkt

Formatiere das Cayley-Diagramm so, dass die Erzeuger des Zentrums die Gruppenelemente, die nicht im Zentrum liegen miteinander Verbinden. Jedem Element des Zentrums lässt sich also eine Nebenklasse $zU$ einer resultierenden Untermenge $G$ zuordnen.

Ich gehe mal davon aus, dass diese Untermenge auch eine Untergruppe ist.

Wendet man erst $u\in U$, dann $z$ an, landet man beim gleichen Element, wie wenn man erst $z$ und dann $u$ anwendet.

Ist $z$ ein Element, mit dem man sich in eine Nebenklasse bewegt, dann muss diese Nebenklasse die gleiche Struktur haben wie $U$ haben. Beim Zentrum sind die Nebenklassen somit nicht neuverkabelt. $G$ ist damit ein Produkt aus dem Zentrum und $U$.