We will discuss recent work on using reinforcement learning to study additivity of the unknotting number. As a byproduct, we have obtained many new hard unknot diagrams. This is joint work with Taylor Applebaum, Sam Blackwell, Alex Davies, Thomas Edlich, Marc Lackenby, Nenad Tomasev, and Daniel Zheng.
Talk
Einführung
Wir studieren die Trivialisierungszahl. Es gibt noch einige Knoten mit Kreuzungszahl kleiner als oder sogar gibt es einige mit unbekannter Trivialisierungszahl.
Es gibt Knoten, deren Trivialisierungzahl kleiner ist als die Kreuzungszahl. (Nicht beim gleichen Diagram)
Taniyama: Für jeden Knoten existiert ein Diagram mit beliebig hoher Trivialisierungszahl.
Komplexität: Die Berechnung der Trivialisierungszahl ist exponentiell in der Kreuzungszahl. Man kann aber recht einfach obere Schranken bekommen. Untere Schranken können durch viele andere Invarianten berechnet werden.
Bei Torusknoten ist die Trivialisierungszahl bekannt.
Hauptthema
Vermutung:
Es gibt eine Menge Hinweise darauf, dass die Vermutung wahr ist. Die stimmt für große Klassen (Siehe Scharlemann und Alishahi-Eftekhari) aber es stimmt nicht für stärkere Annahmen.
Machine Learning
Wir wollen mehr Hinweise für die obere Vermutung sammeln. Die Idee ist mit maschinellem Lernen die Trivialisierungszahl-Zahlfunktion zu approximieren.
Der Autor beschreibt einige Paradigmen für maschinelles Lernen.
In unserem Fall nutzen wir Markov decision problem. Wir modellieren die Knoten als Zustände und die Änderungen der Kreuzungen sind die Zustandsübergänge. Es gibt irgendetwas mit Wahrscheinlichkeit und das Programm gewinnt, wenn es beim trivialen Knoten ankommt.
Der Autor erklärt, was Q-Learning ist. Diesen Lernalgorithmus werden wir später nutzen. Nevermind, wir nutzen Importance Weighted Actor-Learner. Das ist besser für Verallgemeinerungen und Netzwerkübergreifendes Lernen geeignet.
Ergebnisse
Das Programm hatte eine Genauigkeit von 80%. Die KI wurde noch auf andere Probleme geworfen. Insbesondere konnte kein Gegenbeispiel zur Additivität der Trivialisierungszahl gefunden werden.
Tragweite
Wenn die Additivität gegeben wäre, dann könnte man die Triviliasierungszahl von neuen Primknoten berechnen. (Ich nehme an)