Beschreibung
Die Kantormenge ist ein lustiges Fraktal.
Konstruktion
In Bildern
Wir erzeugen Mengen indem wir immer das mittlere Drittel entfernen. Der Schnitt all dieser Mengen wir die Cantor-Menge genannt
In Formeln
Also ist jede Zahl ist dadurch bestimmt, ob sie im linken oder im rechten Teilstück liegt.
Eigenschaften
Eindeutige Darstellung aller Elemente als Folge
Es gibt eine Bijektive Abbildung
Diese Folge ist wie eine Addressierun gin einem Binärbaum!
Abstand zwischen zwei Punkten
Falls und für alle aber
Dieser Abstand definiert sogar eine Metrik auf .
Andere Metrik
Man kann auch folgende Metrik definieren wobei der erste Index ist, bei dem sich und unterscheiden.
Abbildung auf
Es gibt eine stetige Surjektive Abbildung Abbildung .
Jedes Element ist um Grunde eine Binärzahl (sie hat nur Werte 0 und 2). Bilde diese Zahl auf die Binärdarstellung einer reellen Kommazahl ab.
Das ganze ist nicht bijektiv, da die Cantorzahlen und auf die gleiche reelle Zahl abbilden.
Surjektive Abbildung auf
Es gibt eine bijektive, stetige Abbildung
Sei . Indem wir und so verschränken, dass das nächste Element alle zwei Folgenglieder auftaucht, erhalten wir eine neue Folge .
Die Abbildung kehrt diesen Prozess um. Sie nimmt eine Folge und teilt diese in zwei Folgen, d.h. auf zwei Elemente auf. Dadurch können wir jede zwei Elemente durch ein Element erhalten.
Das ganze ist stetig, da für sehr nahe Elemente und auch die Elemente sehr nah sind.
Die Umkehrung dieses Vorgehens gibt uns eine surjektive Umkehrfunktion.
Stetige Fortsetzung von auf
Die Abbildung ist bereits surjektiv. Wir können sie stetig machen, indem wir die Lücke zwischen zwei Punkten von auf eine Kurve zwischen deren Bildpunkten abbilden. Die resultierende Funktion ist natürlich immer noch surjektiv aber jetzt außerdem stetig.
\newcommand{\R}{\mathbb R}