Tragende Gefaserte Fläche

Beschreibung

Sei $S$ eine (punktierte) Fläche und sei $F\subseteq S$ eine Gefaserte Fläche. Sei $f:S\to S$ ein Homöomorphismus. Die gefaserte Fläche $F$ trägt $f$, wenn

1. $S$ besitzt eine Retraktionsdeformation auf $F$
2. $f$ besitzt eine Einschränkung $f:F\to F$
3. $f$ bildet jedes Zerlegungselement von $F$ auf ein Zerlegungselement ab und jede Kreuzung auf eine Kreuzung. Das erlaubt anscheinend Bögen auf Kreuzungen abzubilden, was auch sinn ergibt. Wenn die Flächen den instabilen Blättern folgen, dann müssen die Bögen auf irgendetwas ausgedehnt werden dürfen.

Die Idee von 2. ist ganz simpel. Falls $f$ ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus ist, so folgt die gefaserte Fläche folgt den instabilen Blättern. Die Fasern zeigen in Richtung der stabilen Blätter. Da die stabilen Blätter mit gleichbleibendem Faktor komprimieren, gibt es ein Blatt, welches Fix ist. (Davon abgesehen gibt es viel viel mehr Blätter, die ungefähr an die gleiche Stelle abgebildet werden). Folgt man einem dieser Blätter, erhält man eine gefaserte Fläche, die sich für obere Definition gut anbietet.

Definition

Eigenschaften

Eigenschaft

Sei $\varphi :S\to S$ ein Homöomorphismus, der von $F$ getragen wird. Sei $\pi :F\to G$ die Projektion auf den topologischen Graphen. $\varphi$ induziert eine Graphabbildung $\mathfrak{g}:G\to G$ gegeben wir folgt: Sei $e\in G$ eine gerichtete Kante. Der orientierte Streifen ${\pi }^{-1}(e)$ wird von $\varphi$ auf eine Folge von Streifen abgebildet, welche von $\pi$ auf eine Folge von gerichteten Kanten $e_1,e_2,...,e_k\in G$ abgebildet werden. Definiere $g(e)$ als den Pfad $g(e)=e_1{e}_2...e_k$.

Bei oberem handelt es sich nicht um einen Graphhomomorphismus, da Kanten auf Pfade (einschließlich dem leeren Pfad) abgebildet werden.