Inneres Differential (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Das Innere Differential (auch Differentialformkontraktion) wendet eine Kontraktion (Tensortheorie) auf jede Form einer Differentialform an.

Wir nennen diese Kontraktion gelegentlich auch interior derivative.

Intuitiv messen ja Differentialformen Hyperspate. Durch eine Kontraktion setzen wir eine Ecke des Hyperspats fest. Dadurch führen wir in gewisser weise eine “Ableitung” in Richtung des Vektorfeldes durch.

Definition

Sei $\omega \in {\Omega }^k(M)$ eine $k$-Differentialform und $X\in \Gamma (TM)$ ein Vektorfeld, so definieren wir die Kontraktion ${ı}_X\omega \in {\Omega }^{k-1}(M)$ $({ı}_X\omega {)}_p(v_1,...,v_{k-1})={\omega }_p(X_p,v_1,...,v_{k-1})$

Für $0$-Formen setzen wir ${ı}_{X}f=0$.