Retraktionsdeformation

Beschreibung

Eine Retraktionsdeformation ist eine Retraktion, die die Retraktionsmenge erhält, d.h. eine Relativhomotopie ist.

Eine Retraktionsdeformation ist eine stärkere Form der Homotopy equivalence.

Definition

Eine Retraktion eines Raums $X$ auf einen Unterraum $A$ ist eine Familie von Kurve $f_t:X\to X,t\in [0,1]$, sodass $f_0=id,f_1(X)=A$ und $f_t{|}_A=id$ für alle $t\in [0,1]$. $f$ ist außerdem immer stetig.

Eigenschaften

Zusammenziehbarkeit einer Teilmenge

Sei $X$ ein Topologischer Raum. Es existiere eine Retraktionsdeformation zu einem Punkt $x$. Dann existiert für jede Umgebung $U$ von $x$ eine Umgebung $V\subseteq U$, sodass $V$ zusammenziehbar ist.

Beweis: Sei $f_t:X\times I\to X$ die Retraktionsdeformation. Diese ist stetig, d.h. $f_t^{-1}(U)$ ist offen. Da $I$ kompakt ist, existiert nach dem Schlauchlemma ein offener Schlauch um die Menge $\{x\}\times I\subseteq f_t^{-1}(U)$. Bezeichne die Grundfläche mit $V$.

Retraktionsdeformation zu einem Punkt

Sei $X$ ein Raum. Existiert eine Retraktionsdeformation auf einen Punkt, dann ist der Raum zusammenziehbar.

Homotopie aller Retraktionsdeformationen

Alle Retraktionsdeformationen sind ineinander deformierbar, d.h. es gibt ein $s$, sodass eine Deformation in die andere überführt werden kann.

Induziert Isomorphismus auf Fundamentalgruppe

Eine Retraktionsdeformation $r:X\to A$ induziert einen Gruppenisomorphismus $r_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(A,x_0)$ auf der Fundamentalgruppe.

Das beschreibt vermutlich ganz gut den UnterRetraktmd)ne Löcher entfernen, da dadurch die Fundamentalgrupp