Produktmaß

Beschreibung

Definition

Für $({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_{i,}{\mu }_i)$ $\sigma$-endlicher Maßraum, $i=1,2$ gibt es auf dem Produktmessraum. $(\Omega ={\Omega }_1\times {\Omega }_2,\mathcal{A}={\mathcal{A}}_1\times {\mathcal{A}}_2)$ genau ein Maß $\mu$, sodass für $A_1\in {\mathcal{A}}_1,A_2\in {\mathcal{A}}_2$ gilt: $\mu (A_1\times A_2)=\mu (A_1)\mu (A_2)$ und weiter für alle $A\in \mathcal{A}$: $\mu (A)={\int }_{{\Omega }_1}{\mu }_2(A_{x_1})d{\mu }_1(x)={\int }_{{\Omega }_2}{\mu }_1(A_{x_2})d{\mu }_2(x_2)$ für $A{x}_1:=\{x_2\in {\Omega }_2:(x_1,x_2)\in A\}\in {\mathcal{A}}_{1,},A{x}_2:=\{x_1\in {\Omega }_1:(x_1,x_2)\in A\}\in {\mathcal{A}}_2$