Untershift endlichen Typs

Beschreibung

Ein Unterschift endlichen Typs (auch topological Markov shift) ist eine Teilmenge des Einseitiger Shift oder Zweiseitiger Shift, die abgeschlossen über dem Shift ist und damit selbst ein Dynamisches System bildet. Welche Punkte von $X$ bzw. $\Sigma$ erlaubt muss durch eine lokale Beobachtung der Stellen des Punktes erkennbar sein (daher endlicher Typ). Regeln werden mit einem Automat festgelegt, der an jeder Stelle prüft, ob die Regeln erfüllt sind.

Ersetzt man jedoch die Knoten des Automaten durch Zeichen eines Alphabets, erhält man ein isomorphes dynamisches System, bei dem Zeichen nur vom vorherigen Zeichen abhängen. Die Regeln lassen sich somit durch eine Adjazenzmatrix angeben

Definition durch $\{0,1\}$-Transitionsmatrix

Sei $B$ eine Matrix, die nur aus $0$ und $1$ besteht. Wir bezeichnen sie als Transitionsmatrix, denn sie gibt ähnlich eines Automat eines Reguläre Sprache an, welche Regeln für bestimmte Wörter setzt. Ist konkret die Zelle $A_{k,l}=1$, so darf nach dem Zeichen $k$ ein $l$ folgen. Der gesamte Untershift ist somit definiert durch: ${\Lambda }_B=\{s\in {\Sigma }_n:B_{s_i,s_{i+1}=1}\}$

Die Erhaltenen Wörter erhält man, indem man nach vorne und hinten unendlichen Pfaden im Graphen folgt.

Definition durch verbotene Wörter

Sei $\mathcal{B}$ eine endliche Menge von Wörtern. Der Untershift $X_{\bar{\mathcal{B}}}$ setzt sich zusammen aus allen Zeichenfolgen, die nicht diese Wörter enthalten.

Beweis: Es ist nicht klar, warum diese Definition äquivalent zu den vorherigen ist. Die Wörter enthalten ein Wort mit maximaler Länge $l$. Wir können damit o.E. annehmen, dass alle verbotenen Wörter diese Länge haben. Definiere nun $X_{\bar{\mathcal{B}}}=\{x\in X_n:\text{keine Unterwo¨rter in }\mathcal{B}\}$ mit der Transitionsmatrix $A_{[i_0,...,i_{l-1}][j_0,...,j_{l-1}]}=1$. Damit ist aber $A$ eine Transitionsmatrix einer Höhere Blockpräsentation. Umgekehrt, können wir einen Untershift definieren, und anhand der höheren Blockrepräsentation die verbotenen Wörter bestimmen. Von diesen kann es nur endlich viele geben, da sonst Wörter unendlich lang werden müssten und damit gegen die Lokalität von endlichen Typen verstoßen. $\square$

Es ist möglich, Transitionsmatrizen weiter zu verallgemeinern. Dies gibt uns größere Flexibilität für Amalgamationen. Dies geht, indem wir Kanten statt Knoten als die Zustände unseres Shifts betrachten.

Definition durch ${\mathbb{N}}_0$-Transitionsmatrix

Sei $A$ eine quadratische ${\mathbb{N}}_0$-Matrix. Wir verstehen sie als eine Adjazenzmatrix mit mehren Kanten zwischen Knoten, definieren aber nun das Alphabet $L_A$ nicht über die Knotenmenge, sondern über die Kantenmenge. Zwei Symbole sind adjazent, wenn sie durch einen Knoten verbunden sind.

Ist $A$ eine $\{0,1\}$- Matrix, so ist das Resultat der $2$-Blockshift der anderen Definition. Da dies ein topologish konjugierter Shift ist, ist das üblicherweise kein Problem.

Betrachtet man eine ${\mathbb{N}}_0$-Adjazenzmatrix und betrachtet die Kanten als Knoten, so erhält man eine größere $\{0,1\}$-Adjazenzmatrix, die die gleiche Dynamik definiert. Ich bin mir außerdem ziemlich sicher, dass erstere Matrix durch Amalgamation aus der ersteren hervorgeht.

Wahrscheinlich, lässt sich das noch weiter verallgemeinern. Statt einer Kante, betrachte alle $n$-langen Pfade als Zustände. Das Resultat ist dann ein $n+1$-Blockshift. Das Ergebnis ist aber wahrscheinlich nicht ganz so nützlich.

Eigenschaften

Topologische Entropie

Die Topologische Entropie, das Wachstum periodischer Punkte und der Spektralradius von $B$ steht bei Untershifts endlichen Typs in folgendem Zusammenhang: ${\text{Fix}}^{\infty }(\sigma {|}_{{\Lambda }_B})=h_{top}(\sigma {|}_{{\Lambda }_B})=\log (spr(B))$

Eine irreduzible Matrix erfüllt die Bedingungen des Perron-Frobenius Satz und hat damit einen Spektralradius $>1$. Folglich ist die Entropie immer positiv.

Beispiele

Von besonderem Interesse sind Untershift, wenn sie durch irreduzible Matrizen definiert sind.

Konstruktion durch irreduzible Transitionsmatrizen

Ist die Transitionsmatrix $B$ irreduzibel, so handelt es sich entweder um einen periodischen Orbit (der Grpah ist zyklisch) oder er ist homöomorph zur Cantor-Menge. Auf jeden Fall liegt die Menge ihrer periodischen Orbits dicht in ${\Lambda }_B$. Die transitiven Punkte bilden eine dichte G-Delta Menge.

lit_boylandTopologicalMethodsSurface1994 lit_kitchensSymbolicDynamicsOnesided2012