Starkes Gesetz der großen Zahlen

Beschreibung

Das Starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass bei einer Hintereinanderausführung von Zufallsexperimenten mit gleichem Erwartungswert und beschränkter Varianz der Durchschnittwert fast-sicher gegen den Erwartungswert konvergiert.

Das Starke Gesetz setzt Unabhängigkeit (Stochastik) der Experimente voraus und kann damit eine stärkere Form des Schwaches Gesetz der Großen Zahlen.

Definition

Sei $(X_i)$ eine Folge von Vergröberungen für einen Erwartungswert $\mu \in [0,1]$ und eine Standardabweichung $\delta \in {\mathbb{R}}_0^{+}$ gelte: $\forall n\in \mathbb{N}:E_p{X}_n=\mu ,Va{r}_p(X_n)={\delta }^2$ Dann konvergiert die Folge $P$-fast-sicher: $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=:{\hat{X}}_n\stackrel{P.f.s.}{\to }\mu$