Gruppenoperation auf Graph ohne Inversion

Beschreibung

Eine Gruppenoperation auf einem Graphen ohne Inversion ist eine Operation auf einem Graph, der keine Inversion besitzt.

Definition

Eigenschaften

Kriterium für Erzeugendensystem

Sei $G$ eine Gruppe, die auf einem Graphen ohne Inversion operiert und sei $T$ ein Baum von Repräsentanten $X\mathrm{mod}G$. Sei $Y\subseteq X$ ein Teilgraph für den jede Kante an einer Kante in $Y$ hängt. Desweiteren gilt: $GY=X$

Für jede Kante $y\in edge(Y)$, die von $T$ “wegsteht”, d.h. einen Ursprung $o(y)$ in $T$ hat aber ein Ziel $t(y)$ außerhalb von $T$ betrachte ein Gruppenelement $g_y$ für das gilt $g_{y}t(y)\in T$. Die Menge aller $g_y$ sowie die Stabilisatoren aller Knoten bilden ein Erzeugendensystem von $G$.

Das ergibt auch intuitiv Sinn, denn wenn Kopien von $T$ nicht durch einen gemeinsamen Knoten verbunden sind, dann müssen sie durch Kanten verbunden sein. Diese Verbindungen sind das Resultat der “wegstehenden” Kanten. Der Wegstehende Knoten liegt dabei in einem Kopie der Repräsentatnenbaumes…