Bi-Geordnete Gruppe

Beschreibung

Eine bi-geordnete Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig auch einer Ordnungsrelation zulässt, die mit der Gruppe kompatibel ist. Sie ist ein Spezialfall einer Links-Geordnete Gruppe. Gruppen, die links-geordnet sind aber nicht bi-geordnet sind beispielsweise einige semi-direkte Produkteturen/3. Gruppentheorie/Elementare Gruppentheorie/2. Erzeugung von Gruppen/Produkte und Quotienten/Semidirektes Produkt/Semidirektes Produkt/Semidirektes Produkt|semi-direkte Produkte]]. Hier kann es passieren, dass innerhalb einer Nebenklasse sich die Ordnung umdreht oder sonst verändert.

Definition

Sei $<$ eine strenge, totale Ordnungsrelation auf einer Gruppe $G$. Wir bezeichnen $(G,<)$ als Links-geordnete Gruppe, wenn $g<h$ impliziert $fg<fh$ und $gf<hf$.

Charakterisierung

Eine Gruppe lässt eine bi-Ordnung zu, genau dann, wenn es ein $P$ wie bei der Links-Geordnete Gruppe Gruppe gibt und dieses $gP{g}^{-1}=P$ erfüllt.

Wir können das so verstehen, dass Konjugation den positiven Kegel erhält.

Eigenschaften

Ordnung auf Produktgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Seien der Normalteiler und die Faktorgruppe $K,H$ bi-geordnet mit den positiven Kegeln $P_K,P_H$ Dann ist auch $G$ bi-geordnet, mit dem Kegel $P_G:=i(P_K)\cup p^{-1}(P_H)$ genau dann, wenn die Konjugation für alle $g\in G$ den Kegel erhält $g^{-1}i(P_K)g=i(P_K)$. Wir nennen diese Ordnung auch die lexikographische Ordnung.

Lokal-Indizierbar

Jede bi-geordnete Gruppe ist lokal-indizierbar

Ordnung auf Faktorgruppen

Sei $1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{p}{\to }H\to 1$ eine Kurze Exakte Sequenz. Sei $(G,<)$ und seine Untergruppe $(K,<)$ bi-geordnet. Sei $K$ eine Konvexe Untergruppe. Dann gibt es eine Bi-Ordnung $<$ auf $H$ definert durch $1<h⟺\forall g\in p^{-1}(h):1<g$

Beispiele

Freie Gruppe $F_n$

Die Freie Gruppe ist ein Beispiel einer Gruppe, die eine eine passende Ordnung zulässt.

Fundamentalgruppe von orientierten Flächen

Sei $\Sigma$ eine Orientierte Fläche. Dann ist dessen Fundamentalgruppe bi-geordnet

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