Erstes Auftreten

Beschreibung

Das erste Auftreten ist ein Zufallsexperiment, bei der wir solange eine Münze werfen, bis Kopf auftaucht, wir fragen und dann wie oft die Münze wohl durchschnittlich geworfen werden musste.

Eigenschaften

Erzeugende Funktion

Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse (Anzahl der geworfenen Münzen bis Kopf) sind $p,qp,q^{2}p,...,$

Durch Berücksichtigen der Wurfanzahl erhalten die die Erzeugende Funktion (Stochastik): $G(t)={\sum }_{k=1}p{q}^{k-1}{t}^k=\frac{pt}{1+qt}$

Damit lässt sich dann der Erwartungswert und die Varianz ermitteln.

Erwartungswert

Den Erwartungswert erhalten wird durch Differenzieren und Einsetzen von $1$ in die Erzeugende Funktion: $E(X)=1/p$

Varianz

Die Varianz erhalten wir ebenfalls aus der erzeugenden Funktion: $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{q}{p^2}$

Entropie

Einsetzen der Ergebniswahrscheinlichkeiten und Einsetzen in die Definition für Entropie (Informationstheorie) und anschließendes Ausrechnen von Reihen, ergibt die Entropie $H(X)=\frac{1}{q}H(p)$

lit_hammingArtProbability2018