Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra)

Beschreibung

Es gibt spezielle Vektorfelder auf Lie-Gruppen, die erhalten bleiben, wenn man eine Linksmultiplikation der Lie-Gruppe durchführt. Diese Vektorfelder bilden einen Vektorraum und haben die Struktur einer Lie-Algebra.

Definition

Sei $G$ eine Lie Gruppe. Für ein Element des Tangentialraum am neutralen Element $x\in T_e(M)$ definiert $X(g)=(d_e{L}_h)(x)$ ein Vektorfeld auf $M$, das unter Linksmultiplikation mit einem beliebigen $h\in G$ gleich bleibt. D.h. $L_{h\ast }(X)=X$ Dieser Vektorianten Vektorfelder wiebra $\underline{G}$ von $G$ bezeichnet.

Eigenschaften

Isomorphie zur Lie-Algebra

Entspringt eine Lie Algebra einer Lie Gruppe, so induziert die Definition einen Isomorphismus zwischen dem Tangentialraum bei $e$ (d.h. der Lie Algebra) und den invarianten Vektorfeldern.

Globale Lokale Gruppe]] eines Linksinvarianten Vektorfeldes ist auf ganz $\ma und erfüllt:

$$\tweis:** Es gibt ein $\epsilon >0$, sodass ${\theta }_t(1)$ für kleine $t$ definiert ist. In einer Lie Gruppe gilt aber nun ${\theta }_{kt}(1)={\theta }_t(1{)}^k$ für alle $k\in \mathbb{Z}$. Damit ist die Einparametrige Gruppe Global.

Bezug zu Rechtsinvarianten Feldern

Sei $X,Y\in T_{e}G$. Bezeichnet mit $X^L$ das eindeutige Linksinvariante Feld mit $X^L(e)=X$. Bezeichne analog mit $X^R$ das eindeutige Rechtsinvariante Feld. Dann gilt: $[X^R,Y^R{]}^L=-[X^L,Y^L{]}^R$