Sphäre

Beschreibung

Ich nutze diesen Artikel, um alle Erwähnungen einer zusammenzufassen.

Definition

Algebraische Definition

Die $n$-Sphäre $S^n$ besteht aus allen Punkte eines Vektorraums ${\mathbb{R}}^n$, die den euklidischen Abstand $1$ vom Ursprung haben: $S^n=\text{ges}x\in \mathbb{R},\Vert x\Vert =1$

Glatte Mannigfaltigkeit

Die Sphäre als obere Punktemenge ist eine Untermannigfaltigkeit von R. Der Standardatlas der Kugel erhält man durch stereographische Projektion der Kugel ohne Nordpol und der Kugel ohne Südpol.

Ein-Punkt Kompaktifikation

Betrachte ${\mathbb{R}}^n$. Wir fügen der Menge den Punkt $\infty$ hinzu. Geraden in ${\mathbb{R}}^n$ verlaufen durch diesen Punkt, was sie zu Kreislinien macht.

Die Konstruktion ist die gleiche wie bei der Riemannsche Zahlensphäre.

Eigenschaften

Geodäten

Die Geodäten einer Sphäre sind genau die Großkreise.

Verbindung

Siehe Zusammenhang der Sphäre

Invertierbarkeit eines eingebetteten $2$-Torus

Betrachte die Sphäre als Ein-Punkt-Kompaktifiziereung ${\mathbb{R}}^3\cup \{\infty \}$. Bette einen Torus $T^2$ ein. Betrachte nun die beiden üblichen Basiskurven der Fundamentalgruppe. Es gibt einen Homöomorphismus, der die beiden Kurven vertauscht.

Beweis: Wir nehmen an, der Torus umrundet den Punkt $0$. Wir drehen den Torus nun so, dass der Ring senkrecht durch $0$ geht, d.h. dass der Torus durch den vorherigen Turos verläuft. Wir setzten nun die andere Seite des Ringes auf den Punkt unendlich und vergrößern dessen Querschnitt so, dass der neue Torus den ursprünglichen umrundet. Der neue Torus ist die Gegenmenge des Inneren des ursprünglichen Torus und hat vertauschte Kurven.

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