Linearer Zusammenhang

Beschreibung

Ein Linearer Zusammenhang (auch Kovariante Ableitung) (接続、せつぞく) ist etwas, das verwendet wird, um Ableitungen Vektorfeldern eindeutig zu machen

Definition

Sei $\pi :E\to M$ ein Vektorbündel. Eine Lineare Verbindung auf $E$ ist eine Abbildung $\nabla :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)$ geschrieben als ${\nabla }_V\sigma$ für ein Vektorfeld $V$ auf $M$ und ein Schnitt (Vektorbündel) $\sigma$ auf $E$.

Die Verbindung soll folgende Regeln für Vektorfelder $V,W$, eine glatte Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ und Schnitte $\sigma ,\eta$ erfüllen.

• Additivität: ${\nabla }_{V+W}\sigma ={\nabla }_V\sigma +{\nabla }_W\sigma$ ${\nabla }_V(\sigma +\eta )={\nabla }_V\sigma +{\nabla }_V\eta$
• Tensoralität: ${\nabla }_{fV}\sigma =f{\nabla }_V\sigma$
• Leibniz Regel: (Produktregel) ${\nabla }_V(f\sigma )=df(V)\sigma +f{\nabla }_V\sigma$

Wählen wir für das Vektorbündel den Tangentialbündel, so gibt die Verbindung eine Beschreibung davon, wie sich Tangenten verändern, wenn man sich entlang der Oberfläche bewegt.

Eigenschaften

Existenz

Sei $M$ eine Glatte Mannigfaltigkeit. Es gibt eine Lineare Verbindung auf dem Tangentialbündel $TM$

Koordinatendarstellung

Schreibt man den Zusammenhang ${\nabla }_{X}Y$ in einer Vektorraumbasis $X={\sum }_i{x}^i{X}_i,{\sum }_{i}Y=y^i{X}_i$, so erhält man die alternative Darstellung ${\sum }_{i,j}{x}_i\text{klam}{y}_j{\nabla }_{X_i}{X}_j+X_i(y^i)X_j={\sum }_k\text{klam}{\sum }_{i,j}{x}_i{y}_j{\Gamma }_{i,j}^k+X(y^k)X_k$ wobei ${\Gamma }_{i,j}^k$ die Christoffelsymbole sind.

Neu aus Alt

Sei $\nabla$ eine lineare Verbindung und $\omega$ eine $1$-Form. Betrachte ${\nabla }_V^{\prime }\sigma ={\nabla }_V\sigma +\omega (V)\sigma$

Dann erhält man eine neue Verbindung.

Lokalität

Der Wert einer Linearen Verbindung $({\nabla }_V\sigma {)}_p$ ist ausschließlich vom Keim von $V$ und $\sigma$ in $p$ abhängig.

Beweis: Sei $\nabla$ eine lineare Verbindung über einem Bündel $E\to M$. Sei $\rho$ die Hubbel-Funktion. Die “Hubbel-Funktion” ist gleich $1$ auf einer offenen Umgebung $U_1$ um $p$. Sie ist $0$ außerhalb einer größeren Umgebung $U_2$. Eine solche Funktion existiert innerhalb einer Karte immer, egal wie klein wir unsere Mengen wählen. Multiplizieren wir unser $\rho$ mit einer Eingabe der Verbindung erhalten wir aufgrund der Tensorialitäteigenschaft für $p\in U_1$: $({\nabla }_{pV}\sigma {)}_p=\rho (p)({\nabla }_V\sigma {)}_p=({\nabla }_V\sigma {)}_p$ und $({\nabla }_V\rho \sigma {)}_p=d\rho (p)\sigma +\rho (p)({\nabla }_V\sigma {)}_p=({\nabla }_V\sigma {)}_p$

Beispiel

Flache Verbindung des Euklidischen Raumes

Betrachte die Euklidische Geometrie als Mannigfaltigkeit $M={\mathbb{R}}^n$, dessen Tangentialbündel $E=TM$ und die Verbindung: $({\nabla }_{V}W{)}_p=D_{p}W(V(p))$ Das ist die Standardverbindung auf der Sphäre.

Runder Zusammenhang der Sphäre

Siehe Zusammenhang der Sphäre.

Flache Verbindung auf einem Torus

Siehe Torus

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