Pullback

Beschreibung

Beim Pullback zieht eine Funktion $f$ eine Differentialform (Mannigfaltigkeit) aus der Bildmenge in die Urbildmenge.

Definition

Pullback für Differentialformen

Ist $f:M\to N$ eine Glatte Abbildung und $\omega \in {\Omega }^k(N)$ eine Differentialform (Mannigfaltigkeit), so definieren wir $f^{\ast }\omega \in {\Omega }^k(M)$ durch die punktweise Multilineare Form $(f^{\ast }\omega {)}_p(v_1,...,v_k)={\omega }_{f(p)}(d{f}_p(v_1),...,d{f}_p(v_k))$ mit $v_i\in T_{p}M$

Pullback für Tensorfelder

Ein Tensor ist sowas wie eine Kombination aus Glattes Vektorfeld (Mannigfaltigkeit) und Differentialform (Mannigfaltigkeit). Wir können den Pullback daher folgendermaßen definieren:

Der Pullback ${\varphi }^{\ast }\alpha$ eines Tensorfeld $\alpha$ ist die Eindeutige Abbildung definiert durch

1. ${\varphi }^{\ast }X={\varphi }_{\ast }^{-1}X$ für ein Vektorfeld $X\in \Gamma (TN)$
2. ${\varphi }^{\ast }\omega$ wie oben definiert falls $\omega \in \Gamma (T_p^{0}M)$ Differentialform
3. ${\varphi }^{\ast }(\alpha \otimes \beta )={\varphi }^{\ast }\alpha \otimes {\varphi }^{\ast }\beta$

Eigenschaften

Einfache Rechenregeln

Sei $\rho :M\to \mathbb{R}$ eine glatte Funktion. Dann gilt

• $f^{\ast }\rho X=(\rho \circ f)f^{\ast }X$
• $(f_{\ast }X)\rho (f(p))=(X\rho \circ f)(p)$

Freundlich bezüglich Keilprodukt und Tensorprodukt

Der Pullback verhält sich freundlich gegenüber dem Keilprodukt und Tensorprodukt. Sei $f:M\to N$ glatt. Es gilt $f^{\ast }(\omega \wedge \eta )=f^{\ast }\omega \wedge f^{\ast }\eta$ und $f^{\ast }(\omega \otimes \eta )=f^{\ast }\omega \otimes f^{\ast }\eta$

Freundlich bezüglich Verkettung

Es gilt $(f\circ g{)}^{\ast }=g^{\ast }\circ f^{\ast }$

Freundlich bezüglich Äußerem Differential

Der Pullback verhält sich freundlich gegenüber dem Äußeres Differential

$f^{\ast }d\omega =d{f}^{\ast }\omega$

Erhält Kohomologien

Nach oberer Eigenschaft erhält der Pullback das Differential von Differentialformen. Damit wird auch die Exaktheit und Geschlossenheit von Formen erhalten. In Folge indzuziert die Abbildung $\varphi :M\to N$ eine lineare Abbildung der De Rham Kohomologiegruppe: ${\varphi }^{\ast }:H_{dR}^k(N)\to H_{dR}^k(M)$

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