Gausssches Lemma

Beschreibung

Das Gaussche Lemma besagt, dass Geodätische durch den Mittelpunkt einer kleinen Kugel die Kugel immer senkrecht verlassen.

Definition

Aufgrund der Linearität von Vektoren kann man das Gaussche Lemma auf zwei verschiedene äquivalente Arten beschreiben.

Eine Sichtweise ist, dass eine Verschiebung entlang einer Geodätischen die Riemannsche Metrik eines Vektors zur Geodätischen erhält. Das heißt allerdings nicht notwendigerweise, dass das Exponential auch winkelerhaltend ist! Zur Geodätischen senkrechte Vektoren, bleiben allerdings senkrecht. $g(d_v{\exp }_p(v),d_v{\exp }_p(w))=g(v,w)$ Die obenstehende Formulierung ist richtig bescheuert. ${\exp }_p$ hat die Signatur ${\exp }_p:T_{p}M\to M$. Die Ableitung hat damit die Signatur $d_v{\exp }_p:T_v{T}_{p}M\to T_{{\exp }_p}M$. Die Vektoren $v,w$ sind im oberen Lemma sowohl Elemente aus $T_{p}M$ als auch aus $T_v{T}_{p}M$. Eine Folgerung aus dem Lemma ist, dass wenn $v,w$ orthogonal in $T_p$ zueinander sind, dann sind sie auch orthogonal nach einer Anwendung von ${\exp }_p(v)$. Obacht: Dabei handelt es sich nicht um einen Paralleltransport. Während ein Paralleltransport winkelerhaltend ist, gilt das bei $d{\exp }_p(v)$ nicht notwendigerweise! $d{\exp }_p$ kann zur Geodätischen senkrechte Vektoren verlängern. *Ist $w$ tangential zu einem Kreis, also senkrecht zu $v$, dann steht logischerweise auch $d_v{\exp }_p(w)$ senkrecht zu $d_v{\exp }_p(v)$.