Ideal

Beschreibung

Ideale wurden eingeführt, um einen Ersatz für eine eindeutige Primfaktorzerlegung in Nicht-faktoriellen Ringen zu finden. Sie sind den Normalteiler der Gruppentheorie sehr ähnlich, da diese genauso für Faktorstrukturen genutzt werden können.

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. Ein Ideal in $R$ ist eine Teilmenge $I\subseteq R$ mit den Eigenschaften

1. $0_R\in I$
2. Für alle $a,b\in I$ und $r\in R$ gilt $a+b\in I$ und $ra\in I$

Beispiel

Hauptideal

Siehe Hauptideal

Rechenregeln

Untergruppeneigenschaft

Ist $I$ ein Ideal im Ring $R$, dann ist $I$ eine Untergruppe von $(R,+)$

Schnitt

Sei $R$ ein Ring und $(I_j{)}_{j\in A}$ eine Familie von Idealen in $R$. Dann ist $I={\bigcap }_{j\in A}{I}_j$

Summe

Seien $I,J$ Ideale in $R$. Dann ist auch die Teilmenge $I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$ ein Ideal in $R$

Produkt

Siehe Produktideal

Teilmengen

Zu Idealen kann man einige Voraussetzungen und Folgerungen zu und aus Teilmengen formulieren.

1. Es gilt $(a)\subset (b)$ genau dann, wenn $b|a$
2. Ist $d\in R$ mit $(d)=(a,b)$, dann ist $d$ ein ggT von $a$ und $b$
3. Ist $e\in R$ mit $(e)=(a)\cap (b)$, dann ist ist $e$ ein kgV von $a$ und $b$

In einem Hauptidealring gelten von ii und ii auch die Umkehrungen.¹

Distributivgesetz

Für Ideale gilt das Distributivgesetz $I(J+K)=IJ+IK$

Beispiele

Triviale Ideale

In jedem Kommutativer Ring $R$ ist das Nullideal $(0_R)=\{0_R\}$ das kleinste und das Einheitsideal $(1_R)=R$ das bezüglich Inklusion größte Ideal.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 10.1 ↩