Variiert man eine Kurve, so variiert auch dessen Energie (Kurven). Die können wir nutzen, um spezielle Aussagen über Kurven zu treffen. Beispielsweise lässt sich damit prüfen, ob eine Kurve eine Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) ist.
Definition: Erste Variation der Energie
Sei eine -parameter Variation von einer Kurve und sei eine Unterteilung. Dann gilt: Wobei und
Betrachtet wird hier die Änderung der Energie. Das ist nützlich, wenn man zeigen will, dass eine bestimmte Kurve keine Geodätische ist. Man definiert sich nämlich einfach ein Vektorfeld auf der Kurve. Wie in Variationsfeld besprochen, hat dieses automatisch eine zugehörige k-Parameter Variation.
Dieses wird nun einen der drei Summanden verändern/folgende Effekte auf die Kurve haben:
- Bewegen wir unsere Kurve in Richtung der Krümmung, dann verkürzt sich die Kurvenlänge und damit die Energie der Kurve
- Bewegen wir die Endpunkte auseinander, verlängert sich die Länge und damit die Energie der Kurve
- Entfernen wir nicht differenzierbare Stellen durch Glättung reduziert sich die Länge
\newcommand{\ges}[1]{\left{ #1 \right}}\newcommand{\wink}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\newcommand{\klam}[1]{\left( #1 \right)}\newcommand{\dklam}[1]{\left[!!\left[ #1 \right]!!\right]}$
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\H}{\mathbb H}