Unendliche Zyklische Gruppe

Definition

Ist die Ordnung (Gruppe) einer Zyklische Gruppe unendlich, so nennt man die Zyklische Grupp unendlich

Charaktierisierungen

Potenzierung

Gibt es kein $n\in \mathbb{N}$, sodass $g^n=e$, dann ist die Zyklische Gruppe unendlich.

Charaktierisierung durch injektive Funktion

Die Abbildung $\varphi :\mathbb{Z}\to G,k\mapsto g^k$ ist injektiv

Eigenschaften

Untergruppen

Sei $G$ eine unendliche zyklische Gruppe und $g\in G$ mit $G=⟨g⟩$ Die verschiedenen Untergruppen sind gegeben durch $⟨g^m⟩$ wobei $m\in \mathbb{N}$

Es gilt $U_m\subset U_{m^{\prime }}$ genau dann, wenn $m$ ein Teiler von $m^{\prime }$ ist.

Isomorphie

Je zwei unendliche Zyklische Gruppen sind isomorph.