Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus

Beschreibung

Ein Homöomorphismus ist Pseudo-Anosovsch, wenn er Blätterungen oder Messbare Laminierung (bis auf Isotopie) verdichtet. Beobachte, dass wir unten manchmal wider Konvention $\mathcal{F}=(\mathcal{F},\mu )$ schreiben.

Definition mit Blätterung nach Issa

Sei $S=S_{g,n}$ eine orientierbare Fläche von Geschlecht $g>0$ mit $n\ge 0$ markierten Punkten (genannt Singularitäten). Sei $S_0$ die Fläche, bei denen die Markierungen herausgebohrt wurden. $S_0$ habe negative Euler-Charakteristik. Sei $\phi :S\to S$ ein Homöomorphismus, der die markierten Punkte permutiert. Der Homöo wird als pseudo-Anosov bezeichnet, wenn es ein Paar von transversalen messbaren Blätterungen $({\mathcal{F}}^u,{\mu }_u),({\mathcal{F}}^s,{\mu }_s)$, sodass

• $\phi$ ist ein glatter Diffeomorphismus außerhalb der Singularitäten
• Es gibt eine Dilatation $\lambda$, sodass $\phi ({\mathcal{F}}^u)=\lambda {\mathcal{F}}^u,\phi ({\mathcal{F}}^s)={\lambda }^{-1}{\mathcal{F}}^s$

Wir bezeichnen $({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)$ als instabile Blätterung und $({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)$ als stabile Blätterung.

Definition: Mit Geodätischer Laminierung nach Issa

Sei $S$ eine orientierbare Hyperbolische Fläche von Genus $g\ge 0$ mit $n$ Bohrungen und sei $\varphi :S\to S$ ein Homöomorphismus, welcher nicht isotop zu einem reduziblen oder periodischen Homöomorphismus ist. Dann existiert ein $\lambda >1$ und transversale messbare Laminierungen $({\Lambda }^{+},{\mu }_{+}),({\Lambda }^{-},{\mu }_{-})$ sodass ${\varphi }_{\ast }({\Lambda }^{+},{\mu }_{+})=({\Lambda }^{+},\lambda ,{\mu }_{+}),{\varphi }_{\ast }({\Lambda }^{-},{\mu }_{-})=({\Lambda }^{-},\lambda ,{\mu }_{-})$ Des Weiteren:

1. Die beiden messbaren Laminierungen sind eindeutig in $\mathcal{P}\mathcal{SL}(S)$. (d.h. es gibt keine andere Laminierung, die die gleichen Eigenschaften wie die beiden oben hat)
2. Wir nennen $({\Lambda }^{+},{\mu }_{+})$ und $({\Lambda }^{+},{\mu }_{+})$ die stabile und instabile messbare Laminierung. Ist $S$ eine geschlossene Fläche, dann stimmen diese mit der natürlichen stabilen und instabilen Laminierung überein.
3. ${\Lambda }^{\pm }$ ist voll und minimal.

Definition nach Maret (etwas komisch)

Ein Homöomorphismus einer geschlossenen Fläche $f$ ist Pseudo-Anosovsch, wenn er die Richtung zweier transversaler, singulärer, gemessene Blätterungen $({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)$ und $({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)$ invariant lässt, aber folgender Weise verdichtet (für ein $\lambda >1$):

• $f({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)=({\mathcal{F}}_u,\lambda {\mu }_u)$
• $f({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)=({\mathcal{F}}_s,{\lambda }^{-1}{\mu }_s)$| Wir bezeichnen $({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)$ als instabile Blätterung und $({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)$ als stabile Blätterung.

Dilatation

Wir bezeichnen oberes $\lambda$ als Dilatation.

Die Dilatation ist eng verwandt mit der Topologische Entropie. Die Dilatation gibt nämlich an, um welchen Faktor die Streifen beim Mischen einer Flüssigkeit zunehmen. Die Entropie gibt die Streckung jedes Streifens an.

Typischerweise wird eine geschlossene Fläche gefordert. Wir können allerdings auch einfach Bohrungen zulassen, sofern diese Fixpunkte interpretiert werden. Durch das Abblasen der Bohrungen, ist es möglich, pseudo-Anosov-Abbildungen auf Flächen mit Rand zu definieren:

Pseudo-Anosovsche Abbildung einer Fläche mit Rand

Ein pA-Homöomorphismus $\nu$ einer Fläche $M$ hat den Blowup $\hat{\nu }:\hat{M}\to \hat{M}$ für jeden Fixpunkt $p\in \text{int}(M)$. $\nu$ ist ein pA-Homöomorphismus von $\hat{M}$.

Eigenschaften

Die folgende Eigenschaft ist leider nicht so im Detail von Agol erklärt worden wie ich gerne hätte. Weil ich es nicht ganz verstehe, will ich es nicht als Definition formulieren. Es ist sehr ähnlich zu der oberen Definition mit der Geodätische Laminierung.

Existenz von Messbaren Laminierungen nach Agol

Sei $S=S_{g,n}$ eine Orientierbare Mannigfaltigkeit. Sei $\varphi :S\to S$ ein pseudo-Anosovscher Homöomorphismus. Dann gibt es eine stabile und instabile Messbare Laminierung ${\mathcal{L}}^s$ und ${\mathcal{L}}^u$, sodass für jede Kurve $c\in S$: $[{\varphi }^n(c)]\to [{\mathcal{L}}^{s]}\in \mathcal{P}\mathcal{L}(S)\text{ und }[{\varphi }^{-n}(c)]\to [{\mathcal{L}}^{u]}\in \mathcal{P}\mathcal{L}(S)$ Ich vermute, das bedeutet, die Isotopieklasse der Kurve nähert sich einem Element des Raum der projektiven messbaren Laminierungen an. Die Konvention ist erklärt in lit_thurstonGeometryTopologyThreemanifolds1979. Jede Essentielle einfache geschlossene Kurve schneidet ${\mathcal{L}}^s,{\mathcal{L}}^u$ mindestens einmal und es existiert eine Dilatation $\lambda =\lambda (\varphi )\in {\mathbb{R}}_{>1}$, sodass $\varphi ({\mathcal{L}}^s)=\lambda {\mathcal{L}}^s$ und $\varphi ({\mathcal{L}}^u)={\lambda }^{-1}{\mathcal{L}}^u$ bis auf Isotopie.

Die oberen messbaren Laminierungen sind eindeutig bis auf Isotopie und Skalierung. Ist $S$ eine Hyperbolische Fläche, so kann man die Laminierungen so isotopieren, dass sie Geodätische Laminierung ergeben. (So wie in der Definition oben)

Dilatation ist algebraisch

Der Wert $\lambda$ ist algebraisch über $\mathbb{Z}[x]$

Bei orientierbarer Blätterung Eigenwert der Homologiematrix

Sind die Blätterungen, die durch $f$ erhalten werden orientierbar, gilt folgende bemerkentswerte Eigenschaft: Betrachte $f:S\to S$. $f$ wirkt auf Kurven in $S$ und damit auf der Fundamentalgruppe. $f$ wirkt in Folge (linear) auf der Homologiegruppe, besitzt also eine Matrixrepräsentation $A$.

Der größte Eigenwert von $A$ ist genau die Dilatation.| [!tip] Nicht-geschlossene Blätterungen|

Die stabilen und instabilen Blätterungen sind immer nicht geschlossen, es sei denn sie sind genau eine Randkomponente. Jedes Blatt, dass nicht der Rand ist, ist also mindestens halb-unendlich. Nach Anwendung des Poincarésche Wiederkehrsatz ist damit jedes Blatt dicht in $M$. Insbesondere ist ein pA-Homöomorphismus als Dynamisches System transitiv.

Beim Artikel für den Zweiseitiger Shift ist angegeben, dass die Menge der periodischen Punkte des Shifts dicht ist. Dies ist auch bei pseudo-anosovschen Homöomorphismen gegeben:

Periodische Punkte liegen dicht in $M$

In jeder offenen Umgebung gibt es einen Punkt, der periodisch ist.

Verhalten von Blätterungen um Fixpunkte/Periodische Punkte

Sei $n\ge 1$ eine ganze Zahl. Sei $x_0\in \text{int}(M)$ ein Fixpunkt $f^n$. Ist $p(x_0)$ die Anzahl der stabilen (oder instabilen) Halbblätter, die aus $x_0$ austreten. Dann gilt für den Fixpunktindex: $\text{ind}(x_0,f^n)=\{\begin{array}{ll}1-p(x_0)& \text{fn erha¨lt jedes Blatt}\\ 1& f^n\text{ rotiert alle Halbbla¨tter}\end{array}$ Der Index ist also $0$ g.d.w. die Singularität $1$-zackig ist. (außer die Singulatität befindet sich am Rand)

Verkompliziert geschlossene Kurven

Sei $\gamma$ eine geschlossene einfache Kurve. Ist $\gamma$ frei homotop zu $\nu (\gamma )$, dann ist $\gamma$ homotop zu einem Punkt oder einer Randkomponente.

Bezeichne mit $a,b$ zwei Homotopieklassen von geschlossenen Kurven. $ı(a,b)$ gibt die niedrigste Zahl an Schnittpunkten an, die zwischen Realisieren der Homotopieklassen bestehen können. Sind $a,b$ nicht homotop zu einem Punkt oder einer Randkomponente, so gibt es ein $n\ge 1$, sodass $ı({\nu }^n(a),b)>0$.

Beweis: der Beweis ist ein wenig kompliziert. Die Idee ist aber Kurvenisotopieklassen mit der Messfunktion einer Blätterung mit einer Metrik zu versehen. Dann kann man zeigen, dass die Metrik echt größer unter Anwendung des pA-Homöos wird.

pA Abbildungen wirken auf den Abbildungen der Messbaren Blätterung. Intuitiv nimmt man an, dass sie die Metrik zwischen stabilen Blättern vergrößert. Bei einer kompakten Fläche muss das aber nicht der Fall sein, da Punkte auf der anderen Seite der Fläche wieder zusammenstoßen könnten. Dieser Fehler lässt sich jedoch in der universellen Überdeckung berichtigen.

Wirkung auf Metrik in der Universellen Überdeckung

Sei ${\tilde{d}}_s$ die Pseudo-Distanz, generiert durch ${\mu }_u$ und ${\tilde{d}}_u$ die Pseudo-Distanz, generiert durch ${\mu }_s$. Die Distanzen geben geometrisch die Dichte der Blätter zwischen zwei Punkten an. Die Namenskonvention folgt Handel. Dann wirkt ein pA-Homöo $\tilde{\nu }$ der universellen Überlagerung wie folgt auf der Länge: ${\tilde{d}}_s(\tilde{\nu }(\tilde{x}),\tilde{\nu }(\tilde{y}))={\lambda }^{-1}\cdot {\tilde{d}}_s(\tilde{x},\tilde{y})\text{ und }{\tilde{d}}_u(\tilde{\nu }(\tilde{x}),\tilde{\nu }(\tilde{y}))=\lambda \cdot {\tilde{d}}_u(\tilde{x},\tilde{y})$ Die Metrik $\tilde{d}={\tilde{d}}_s+{\tilde{d}}_u$ definiert eine echte Metrik auf $\tilde{M}$.

Topologische Entropie

Sei $M$ eine Fläche und $\nu$ ein pA-Homöo. Ist $\lambda >1$ der Streckfaktor, so gilt für die Topologische Entropie: $h(\nu )=\log \lambda >0$

Geodätische Blätter

Sei $M$ eine geschlossene Fläche. Wählt man eine vollständige hyperbolische Metrik auf $M$ mit endlicher Fläche, so ist es möglich, die Blätter in Geodäten zu isotopieren.