Exakte Differentialform

Beschreibung

Die Exaktheit einer Differentialform gibt an, ob eine Differentialform als Differential einer anderen Differentialform geschrieben werden kann.

Definition

Eine Differentialform (Mannigfaltigkeit) $\omega \in {\Omega }^k$ ist exakt, wenn es eine Differentialform $\eta \in {\Omega }^{k-1}$ gibt, sodass: $\omega =d\eta$ wobei $d$ der Äußeres Differential ist.

Q: Exakte Differentialform $\omega \in {\Omega }^k(M)$ A: $\exists \eta \in {\Omega }^{k-1}(M):\omega =d\eta$

Eigenschaften

Zusammenhang zu geschlossenen Differentialformen

Ist eine Differentialform Exakt, so ist die wegen $d^2=0$ auch abgeschlossen.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen aber nicht. Wir tun so als gelte die Umkehrung. Dann kann man für jede Differentialform eine “Stammfunktion” finden, deren Ableitung die Form ergibt. Auf Stammfunktionen gilt dann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Der Unterschied zwischen geschlossenen und exakten Formen beschreibt also wie der Hauptsatz nicht funktioniert.