Beschreibung

Man kann die Euler characteristic und Orientierbarkeit von Flächen nutzen, um alle geschlossene Flächen zu klassifizieren.

Klassifikation

Jede Geschlossene Fläche ist eindeutig festgelegt durch seine Euler characteristic und durch die Information, ob es sich um eine Orientierbare Mannigfaltigkeit handelt.

Desweiteren gibt es eine “Klebemuster-Normalform”, die jede Fläche eindeutig beschreibt. Dieses ist

$a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} ... a_{g} b_{g} a_{g}^{- 1} b_{g}^{- 1}$ für Orienierbare Flächen
$a_{1} a_{1} ... a_{g} a_{g}$

Jede Fläche kann durch ein Klebemuster erhalten werden.
Folgen in dem Muster zwei Kanten $a a^{- 1}$ aufeinander, kann man die beiden Kanten kleben (sofern man dann noch ein Polygon erhält)
Wir haben bereits alle Möglichkeiten für Vierecke klassifiziert
Eine Elementartransformation halbiert das Muster und klebt die beiden Hälften an einer anderen Stelle wieder zusammen. Mit Elementartransformationen kann man die Reihenfolge der Kanten nach bestimmten Regeln verändern
Ist $S$ orientierbar, dann gibt es zwei Kantenpaare $x, x^{'}$ und $y, y^{'}$ , die sich einander Teilen. (d.h. abwechselnd auftauchen) $g$ ist das Geschlecht (Topologie) der Fläche (das erlaubt, das Geschlecht zu charakterisieren)
Man kann das Polygon einer orientierbaren Fläche damit in folgende Form bringen $a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} ... a_{g} b_{g} a_{g}^{- 1} b_{g}^{- 1}$ $g$ nennen wir das nichtorientierbare Geschlecht.
Ist $S$ nicht-orientierbar, so kann man es in die Form bringen: $a_{1} a_{1} ... a_{g} a_{g}$

$χ (S) < 0$ : Hyperbolische Geometrie: Flächen, die durch ein Klebemuster eines $2 n$ -Polygons mit $n \geq 3$ entstehen, bei der alle Ecken zu einer Ecke identifiziert werden, erfordern ein Hyperpolisches Polygon, da sonst die Innenwinkelsumme größer als $2 π$ wäre.
$χ (S) = 0$ : Euklidische Geometrie: Ist das Klebemuster ein Viereck, dessen Ecken identiert werden, so lebt das Viereck in einer euklidischen Geometrie.
$χ (S) > 0$ : Sphärische Geometrie: Die 2-Sphäre und der Projektiver Raum entsteht aus einem Zweieck und hat damit Sphärische Geometrie. Man kann sie auch durch das Zusammenkleben von Dreiecken erhalten.