Sebastian Baader - Minimal topological cobordisms between torus links and 2-strand torus links

We determine minimal topological cobordisms between most even- and two-strand torus knots. The Euler characteristic of these cobordisms is given by the difference of the signature invariant. As an application, we show that the signature invariant of even-strand torus knots is minimal among all additive topological concordance invariants that share the same normalisation.

Talk

Based on work with Ishikawa (mit dem bin ich gestern essen gegangen bin).

Motivation: Was ist ${\lim }_{n,m\to \infty }\frac{1}{mn}{g}_4(T(m,n))$? (Siehe Paper für entsprechende Definition).

Hintergrund

Signaturinvariante (nach Murasugi) ist eine Verschlingungsinvariante. Sie ist definiert durch die sogenannte Seifert Matrix und ist die Menge der positiven Eigenwerte minus der negativen Eigenwerte.

Wir definieren die Torusverschlingung einmal durch den Zopfabschluss und einmal durch das Urbild einer komplexen zweidimensionalen Funktion.

Eigenschaften: Wenn $n,m$ teilerfremd, dann ist $g(T(m,n))=\frac{1}{2}(m-1)(n-1)$. Ähnlich ist die Signatur für teilerfremde $m,n$: $\sigma (T(m,n))=\frac{1}{2}mn+E(m,n)$ wobei $E(m,n)\le 2(m+n)$.

Wir stellen uns die Frage, ob die Signatur mit $g_4(K)$ verwandt ist? Vielleicht im Limit wenn $n,m\to \infty$?

Relative $g_4$

We define a relative Version of $g_4$. This uses the topological cobordism distance $d_{\chi }$. Es beschreibt wie viele einfache Kobordismen man mindestens zwischen zwei Verschlingungen setzen muss.

Wir vergleichen nun die Distanz $d_{\chi }(T(m,n),T(2,N))$ diese ist gegeben durch die Differenz Signatur der beiden Verschlingungen plus einem Fehler. Der Fehlerterm verschwindet allerdings verlgleichsweise, wenn $m,n$ gegen $\infty$ geht und wird vernachlässigbar.

Kleeblattinvarianten

Wir definieren die clover invariant $\rho$. Dabei handelt es sich um eine Verschlingungsinvariante mit bestimmten Eigenschaften.

• Zusammenhang zur Kobordismus-Distanz
• Gleich der Signatur für $T(2,N)$-Knoten

Die Signatur ist eine Kleeblatt Invariante. Gibt es eine andere Invariante mit den oberen Eigenschaften?

• Wenn ja, haben wir soeben eine coole neue Invariante gefunden
• Wenn nicht, haben wir einen coolen Satz zur Signatur gezeigt.

Auf jeden Fall erfüllen diese aber die Kleeblattinvarianten asymptotisch folgende Ungleichung: $1\le \frac{\rho }{\sigma }\le \frac{28}{27}$ Sebastian zeigt einen schnellen Beweis dieser Eigenschaft.