Beschreibung
Eine Präsentation ist die Weiterentwicklung eines Erzeugendensystem. Das Erzeugendensystem hatte nämlich das Problem, dass die zu erzeugende Gruppe im Kontext, d.h. als Untergruppe einer anderen Gruppe erzeugt werden musste, um die Erzeugungsregeln zu kennen.
Die Präsentation beseitigt das Problem, indem sie vorgibt, wie man bestimmte Gruppenelemente ineinander umrechnet.
Definition
Präsentation besteht aus einer Menge von Zeichen (genannt Generatoren) und einer Menge von Wörtern (genannt Relatoren) aus diesen Zeichen.
Jede Präsentation definiert durch die Quotientengruppe der freien Gruppe und den Normalisator (Gruppe) eine Gruppe auf folgende Weise:
Idee: Eine Präsentation gibt die Regeln der Gruppenerzeugung durch Relationen an. Diese Relationen lassen sich durch Relatoren beschreiben. Wir beobachten, dass alle Elemente des Normalen Abschlusses der Relatoren gleich dem neutralen Element sind, denn hat diese Eigenschaft und für auch . Die Gruppe der Präsentation erhält man also aus der Menge aller Wörter von indem man alle Elemente von auf abbildet. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen erhält man genau dadurch obere Quotientengruppe.
Relation
Eine Relation ist eine Gleichung, z.B. . Dessen Relator erhält man, indem man die Gleichung so manipuliert, dass auf einer Seite das neutrale Element steht. D.h. . Der Relator ist der linke Term.
Eigenschaften
Unentscheinbar
Die Frage, ob zwei Präsentationen die gleiche Gruppe erzeugen und nicht entscheidbar Das beinhaltet die Frage, ob eine Präsentation die triviale Gruppe erzeugt.
Beispiele
Freie Gruppen
Siehe Freie Gruppe
Diedergruppen
Siehe Diedergruppe
Symmetrische Gruppe
Siehe Symmetrische Gruppe
ayOfficeHoursGeometric2017]]
\newcommand{\R}{\mathbb R}