Milnor-Schwarz Lemma

Beschreibung

Das Milnor-Schwarz Lemma gibt ein sehr mächtiges Kriterium, mit dem man herausfinden kann, ob eine Gruppe endlich erzeugt ist.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und sei $(X,d)$ eine Proper Metric Space. Operiert $G$ geometrisch auf $X$, so ist $G$ endlich erzeugt und quasi-isometrisch zu $X$.

Beweis Wähle einen Basispunkt $x_0$ aus $X$. Wähle $R>0$, sodass alle Bälle um $G{x}_0$ den Raum $X$ überdecken.

Suche nun ein geeingetes Erzeugendensystem $S$ für $G$. Nehme dazu alle $s\in G$, bei denen der Ball $s_{x}0$ an den Ball um den Basispunkt $x_0$ angrenzt, d.h.:
$\text{ges}s\in G:B(x_0,R)\cap B(s{x}_0,R)\ne \varnothing$

Definiere nun $c$ als den kürzesten Abstand des Basisballs $B(x_0,R)$ zu einem anderen Ball $B(h{x}_0,R)$ mit $h\notin S$.

Sei nun $g\in G$. Zeige, dass sich dieses als Produkt von $n$ Erzeugern aus $S$ schreiben lässt. Verbinde dazu die beiden Punkte $x_0$ und $g{x}_0$ durch eine Strecke. Unterteile die Strecke fein genug. z.B. in Teilstrecken mit Länge $<c$. Man erhält an jeder Unterteilung einen Punkt, nenne die $x_i$ mit $x_0=x_0$ und $x_{n-1}=gx$.

Jeder dieser Punkte $x_i$ liegt in einem Ball $B(g_i{x}_0,R)$ für ein $g_i\in G$. Wir betrachten einen Ball $B(g_i{x}_0,R)$. Da der darauffolgende Punkt $x_{i+1}$ weniger als $c$ von $x_i$ entfernt ist, muss Abstand zwischen den beiden Bällen auch kleiner als $c$ sein. Wir stellen fest, dass wir nun $B(g_i{x}_0,R)$ mit der Isometrie $g_i^{-1}$ auf den Basisball $B(x_0,R)$ abbilden können. Der andere Ball $B(g_i^{-1}{g}_{i+1}{x}_0,R)$ behält seine Distanz, nämlich weniger als $c$ vom Basisball entfernt. Damit gilt jedoch $g_i^{-1}{g}_{i+1}\in S$. Die Abbildung eines Balls $B(g_i{x}_0,R)$ auf den darauffolgenden ist also ein Element aus $S$. Da unsere Kette nur aus endlich vielen Punkten $x_i$ besteht brauchen wir nur endlich viele Schritte aus $S$, um von $x_0$ nach $g{x}_0$ zu kommen.

Der Teil des Beweises, der zeigt, dass $G$ quasi-isomorph zu $X$ ist lasse ich weg.

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