Christoffelsymbole

Beschreibung

Spannen wir ein unregelmäßiges Gitter über einen Teile einer Mannigfaltigkeit (z.B. eine Sphäre), so ist es schwierig, vorherzusehen, wie eine Geodäte ausssehen könnte.

Hätte man ein regelmäßiges Gitter (wie in ${\mathbb{R}}^n$), so könnte man die Geodäte hinegen leicht bestimmten. Bei der Sphäre müssen, wir also die Unregelmßigkeit des Gitters korrigieren, indem wir die Änderung der Basisvektoren entlang der Richtung der Basisvektoren dokumentieren.

Die Information der Änderung der Basisvektoren wird in Christoffelsymbolen kodiert.

https://www.youtube.com/watch?v=3NnZzRb7L58

Christoffelsymbole werden auch genutzt, um Verbindungen lokal zu beschreiben.

Definition

Sei $\nabla$ eine Linearer Zusammenhang. Wir schreiben die Verbindung an Abhängigkeit von der Basis $\frac{\partial }{\partial x^i}$ des Vektorfelds $V$ und in Abhängigkeit der Basis ${\mu }_{k}j$ des Schnitts $\sigma$ und erhalten: ${\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}{\mu }_j={\sum }_k{\Gamma }_{ij}^k{\mu }_k$ für glatte Funktionen ${\Gamma }_{ij}^k:U\to \mathbb{R}$. Diese Funktionen nennen wir die Christoffel-Symbole der Verbindung.

Beweis: Wir schreiben ein Vektorfeld als $V(p)=\sum a^i(p)\frac{\partial }{\partial x^i}$. Indem wir die Additivität und Tensorialität ausnutzen, erhalten wir $({\nabla }_V\sigma {)}_p=\sum a^i(p){\nabla }_{\frac{\partial }{\partial x^i}}\sigma ={\sum }_k\text{klam}{\sum }_i{v}^i\text{klam}\frac{\partial s^k}{\partial x^i}+{\sum }_j{s}^j{\Gamma }_{ij}^k{\mu }_k$

Eigenschaften

Zusammenhang zu linearen Verbindungen

Wie wir in der Definition festgestellt haben, lassen sich lineare Verbindungen durch ihre Christoffel-Symbole definieren. Können wir aber auch eine Intuition aufbauen?

Angenommen, wir bewegen ein Objekt entlang der Geodätische der Kugel. Betrachten wir diese Bewegung auf einer Trivialisation von $T{S}^2$, so erwarten wir, dass sich die Kugel auf einer Gerade bewegt. Das muss aber nicht der Fall sein! Da großer Freiraum in der Wahl der Trivilisation liegt, könnte das Objekt ebenfalls in Wellenbewegungen durch die Trivialisation wandern.

Wie können wir die exakte Bewegung auf der Trivialisation berechnen? Wir nutzen eine Verbindung. Die Verbindung sagt uns, wie sich die Richtung der Geodäten in einem bestimmten Punkt ändert. Das erlaubt uns, eine Kurve zu ziehen, die einer Geodäten folgt.

Beispiele

Euklidischer Raum

Die Flache Verbindung des euklidischen Raumes erlaubt eine eindeutig konstruierbare Verbindung, die keine Verzerrung hinzufügt. Die Christoffelsymbole sind hier alle $0$.

Christoffelsymbole der Sphäre

Aus dem Skript nachzuarbeiten.

Wählen wir aber Polarkoordinaten als Koordinaten, so erhalten wir im Punkt $\theta =0,\psi =0$ die Christoffelsymbole: ${\Gamma }_{\theta \theta }^{\theta }=0,{\Gamma }_{\theta \theta }^{\psi }=\sin (\psi )\cos (\psi )$