Vergleichssatz von Rauch

Beschreibung

Der Vergleichssatz von Rauch gibt eine Abschätzung wie sich Jacobifelder in Mannigfaltigkeiten mit durch oben beschränkten Krümmungen verhält.

Er besagt im Wesentlichen, dass Jacobifelder schneller wachsen je größer die Krümmung ist. Es ist einer von vielen Sätzen der vergleichenden Geometrie. Hierbei geht es darum, bestimmte Eigenschaften quantitativ durch einen Modellraum von höherer oder niedrigerer Krümmung abzuschätzen.

Mit dem Satz kann man z.B. zeigen, dass das Volumen eines Balls zunimmt, je größer die Krümmung des Raumes ist.

Definition (Negative Krümmungen)

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Sectional curvature kleiner als $\kappa$. Sei $c:[0,b]\to M$ eine Geodätische mit Einheitsgeschwindigkeit. Sei $J$ ein Normales Jacobi-Feld mit $J(0)=0,\dot{J}(0)\ne 0$. Dann gilt $\Vert J(t)\Vert \ge \Vert \bar{J}(t)\Vert$ für alle $t\in [0,b]$ wobei $\Vert \bar{J}(t)\Vert$ ein Jacobi-Feld entlang einer Lokale Geodätische (Mannigfaltigkeit) $\bar{c}$ im Modellraum $M_{\kappa }^n$ mit $\bar{J}(0)=0,\Vert \dot{\bar{J}}(0)\Vert =\Vert \dot{J}(0)\Vert ,\dot{\bar{J}}(0)\perp \dot{\bar{c}}(0)$

Wir wollen den Sat.md)mung.md)mung.md)ist, dass positiven Krümmungen die Jacobifelder irgendwann wieder Null werden. In unsecobi-Feld.md)cobi-Feld.md)issen Periodizität beachten. Dazu nutzen wir die Verallgemeinerte Sinusfunktion:

Definition (Alle Krümmungen)

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, bei der alle Schnittkrümmungen $\le \kappa$ begrenzt sind. Sei $c:[0,b)\to M$ eine Geodätische mit Einheitsgeschwindigkeit, $J\ne 0$ ein Normales Jacobi-Feld mit $J(0)=0$. Dann gilt: $\Vert J(t)\Vert \ge s_{\kappa }(t)\Vert \dot{J}(0)\Vert$ Für alle $t>0$ bis zur ersten Null von $s_{\kappa }$. Des Weiteren ist $\Vert J(t)\Vert /s_{\kappa }(t)$ monoton steigend.

Definition Gleichheit

Unter den Voraussetzungen den vorhergehenden Satzes. Sei $t_0\le b$. Gilt für dieses beliebige $t_0$: $\Vert J(t)\Vert =s_{\kappa }(t)\Vert \dot{J}(0)\Vert$ so ist der Riemannscher Krümmungstensor des betrachteten Raumes und des Modellraumes identisch.

Vergleich zweier beliebiger Mannigfaltigkeiten

Seien $(M,g),(\hat{M},\hat{g})$ zwei Riemannsche Mannigfaltigkeit, $c:[0,l]\to M,\hat{c}:[0,l]\to \hat{M}$ zwei Geodätische mit Geschwindigkeit $1$. Seien $J,\hat{J}$ Jacobi-Felder auf den beiden Mannigfaltigkeiten mit den Eigenschaften:

• $J(0)=0=\hat{J}(0)$ $\dot{J}(0)\perp c^{\prime }(0),\dot{\hat{J}}(0)\perp {\hat{c}}^{\prime }(0)$ $g(J(l),J(l))=\hat{g}(\hat{J}(l),\hat{J}(l))$
• $c$ hat keine Konjugierte Punkte
• $\max \{\hat{K}(V),V\subseteq T_{{\hat{c}}^{\prime }(t)\hat{M}},\hat{c}(t)\in V\}\le \min \{K(V),V\subseteq T_{c(t)M},c^{\prime }(t)\in V\}$

Dann gilt $I(J,J)\le I(\hat{J},\hat{J})$ Wobei $I$ die Indexform ist.