Produkt (Sigma-Algebra)

Beschreibung

Definition

Endliches Produkt

Sei $n\in \mathbb{N}$ und für alle $i\in [n]$ $({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$ Messräume. Betrachte das Kartesisches Produkt $\Omega ={\text{bigtimes}}_{i=1}^n{\Omega }_i$ und $X_i\to {\Omega }_i$ die kanonischen Projektionen. Die $\sigma$-Algebra über $\Omega$. ${⨂}_{i=1}^n{\mathcal{A}}_i:=\sigma (X_i,i\in [n])$ Produkt-$\sigma$-Algebra der ${\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2,...,{\mathcal{A}}_n$.

Überabzählbares Produkt

Wir verallgemeinern das Produkt folgendermaßen: ${⨂}_{i=1}^n{\mathcal{A}}_i:=\sigma (\{{\text{bigtimes}}_{i\in \mathbb{N}}{A}_i:A_i\in {\mathcal{A}}_i,i\in \mathbb{N},\text{ aber nur endlich viele }j\in I\text{ mit }{A}_j\ne \varnothing \})$